ضرب داخلی و خارجی بردارها

     همه ی ما داستان ارشمیدس در مورد اصل اهرم و شناوری را شنیده ایم. این سرآغاز علم مکانیک بود که تا زمان استوینوس پیشرفت شگرفی در آن رخ نداد. استوینوس اکثر اصول استاتیک (قوانین ترکیب برداری نیروها) را فرمول بندی کرد. سپس نوبت به گالیله رسید تا اولین بحث در دینامیک را مطرح سازد.

     پیشرفت علم مکانیک مدیون مشارکت نیوتن، داوینچی،لاگرانژ،لاپلاس و ... می باشد. اصلی ترین نقش را نیوتن بر عهده داشت که پایه گذار دقیق علم مکانیک بود. همچنین او بنیانگذار ایده جزء بینهایت کوچک در تحلیل ریاضی نیز هست.

     کلیه ی کمیات فیزیکی به دو بخش تقسیم می شوند.کمیات اسکالر، که آن دسته از کمیات هستند که دارای مقدار مثبت یا منفی می باشند مانند جرم، چگالی، کار و ...   .

     کمیات برداری، آن دسته از کمیتها هستند که علاوه بر مقدار دارای امتداد و جهت نیز می باشند. البته در بعضی مواقع از نقطه اثر نیز به عنوان یکی از خصوصیات کمیات برداری یاد می شود.

بردارها به سه دسته ی ثابت، لغزان و آزاد تقسیم می شوند.

     بردار ثابت برداری است که نقطه اثر مشخص و ثابتی دارد. بردار لغزان برداری است که برای آن، یک خط اثر منحصر به فرد در فضا باید حفظ شود که در راستای آن، کمیت مورد نظر عمل می نماید. یکی از مفاهیم اصل انتقال پذیری که بعدا به آن خواهیم پرداخت بردار لغزان می باشد. بردار آزاد برداری است که نقطه اثر آن به هیچ نقطه یا خط منحصر به فردی در فضا وابسته نبوده و محدود نمی باشد.

     از فیزیک دوران دبیرستان به خاطر داریم که مدلهایی که برای حل و بحث یک مساله ی مکانیکی از آنها بهره می بریم به سه مدل ذره، جسم صلب و جسم شکل پذیر گروه بندی می شوند. به عنوان مثال اگر هواپیمایی را در نظر بگیریم، برای بررسی سرعت یا شتاب آن در حرکت بین دو شهر آن را به عنوان ذره در نظر می گیریم اما هنگام مطالعه ی مشخصات ساختمانی آن باید بالها و بدنه را جسم صلب در نظر بگیریم.

قوانین مربوط به بردارها

     الف) جمع بردارها: جمع بردارها از قانون متوازی الاضلاع تبعیت می کند. این قانون بیان می دارد که دو بردار V1 , V2     به عنوان بردارهای آزاد مطابق شکل 1-1 می توانند توسط معادل خود یعنی V جایگزین شوند که قطر متوازی الاضلاع تشکیل شده از V1,V2  به صورت دو ضلع آن، مانند شکل 1-2 می باشند. تفاضل دو بردار V1,V2 به راحتی با جمع کردن V1 با (-V2) مانند شکل 1-3 انجام می پذیرد.

شکل 1-3                                شکل 1- 2                           شکل 1- 1                               

     همچنین با تجزیه ی بردارها به مولفه های عمود بر هم می توانیم مساله را از صورت برداری به صورت اسکالر تبدیل کنیم و تک تک مولفه ها را با هم جمع کنیم.

بنابراین بردارV به صورتV=Vx i+Vy j  تبدیل می شود.همچنین برای جمع دو بردار V1,V2 داریم:

V1+V2=(V1x i +V1y j)+(V2x i + V2y j)=(V1x + V2x)i + (V1y + V2y)j

ب)ضرب داخلی دو بردار: ضرب داخلی با علامت(.) نشان داده می شود و حاصل آن یک کمیت اسکالر می باشد.تعریف ضرب داخلی بر حسب اندازه ی بردارها به صورت

A.B = A B cosө                    (1-1 )

می باشد که در آن ө زاویه ی بین دو بردار می باشد.

     با استفاده از بردارهای یکه می توان نشان داد که ضرب داخلی بر حسب مولفه های دو بردار به صورت رابطه ی 1-2 نیز قابل بیان است:

A=Axi + Ayj +Azk, B=Bxi +Byj + Bzk

è A.B=AxBx + AyBy + AzBz              (2-1)

از تعریف اولیه ی ضرب داخلی و با توجه به شکل 1-5 می توانیم تصویر یک بردار را بر روی بردار دلخواه دیگری به دست بیاوریم:                                             

شکل 1-5

L = |B cosө| = B |cosө| , C= C eA , eA = A/A         (3-1)

ج)ضرب خارجی: ضرب خارجی بردارها با علامت (×) نشان داده می شود.ضرب خارجی بر خلاف ضرب داخلی یک بردار تولید می کند که بر صفحه ی بردار اولیه عمود است و جهت آن با استفاده از قاعده ی دست راست تعیین می شود.همچنین اندازه ی آن از رابطه ی زیر به دست می آید:

|C| = |A×B| = A B sinө        (4-1)

با استفاده از بردارهای یکه ضرب خارجی به صورت زیر قابل بیان است:

         (5-1)

شکل 1-6             

د)ضرب داخلی سه بردار: ضرب داخلی سه بردار حجم متوازی الاضلاعی است که بر روی سه بردار ساخته می شود.ضرب داخلی نیز یک کمیت اسکالر است و با رابطه ی زیر تعیین می گردد:

            (6-1)

ه)مشتق و انتگرال توابع برداری: فرض کنیم تابع برداری  

F(t)

موجود باشد.آنگاه:

     (7-1)

                 (8-1)

              (9-1)

اثبات آنها به عنوان تمرین به خواننده واگذار می شود.

برای انتگرال گیری از یک تابع برداری می توانیم یا مساله را به سه امتداد مستقل دکارتی تفکیک کنیم یا مستقیما مساله را برداری حل کنیم.

مثال 1) کار نیروی داده شده را بر روی مسیر داده شده به دست آورید؟

F= (3xy) i+ (5z) j+ (10x) k

=303