مجموعه های نیرو یا سیستمهای معادل نیروها

فصل دوم:مجموعه های نیرو یا سیستمهای معادل نیروها

     پیش از آغاز بحث اصلی بهتر است مفاهیم مورد نیاز را بررسی کنیم

الف) نیرو:

     کنش یک جسم بر جسم دیگر نیرو تعریف شده است. نیرو یک کمیت برداری است که به دو صورت گسترده و متمرکز اثر می کنند. البته در واقع هر نیروی تماسی، بر روی یک سطح محدود اعمال می شود و در نتیجه، یک نیروی گسترده است. هنگامی که ابعاد سطح مزبور در مقایسه با سایر ابعاد جسم بسیار کوچک باشد، می توان نیرو را یک نیروی متمرکز تلقی کرد و خطایی قابل چشم پوشی را متحمل شد.باید توجه داشت که در هنگام بررسی یک نیرو و اثرات آن باید قانون سوم نیوتن را در نظر داشته باشیم.

ب) گشتاور یا لنگر:

     علاوه بر اینکه نیرو تمایل دارد یک جسم را در امتداد خط اثر خود جابه جا کند، این امکان نیز وجود دارد که بخواهد جسم مزبور را حول یک محور به دوران درآورد. مثلا در هنگام استفاده از آچار با اعمال نیرویی بر دسته ی آچار پیچ در سر آن می چرخد.

     لنگر یک نیرو حول یک نقطه برداری است که اولا امتدادش عمود بر صفحه ی نیرو و نقطه است ثانیا از معادله ی برداری زیر پیروی کند:

     (1-2)

     برداری است که ابتدای آن به اصطلاح محل لنگرگیری و انتهای آن یک نقطه ی دلخواه   rبردار

  بر روی خط اثر نیرو است.

      شکل 2-1

لنگر را با علامات زیر نشان می دهند:

                                                                                                                    

مثال 2-1) مطلوبست لنگر نیروهای  F1 و F2  حول نقطه ی A.

                                     شکل 2-2        

که در آن ө زاویه ی نیروی دوم با محور تیر است.

مثال 2-2) در شکل زیر مطلوبست گشتاور نیروی T حول نقطه ی C.

T | = 210 |

برای اینکه راستای نیروی T مشخص شود باید از بردار  (یکه در امتداد BE) استفاده کنیم.

B(3,6,0) , E(6,0,2) , C(0,2,3)

è CB= (3, 4,-3)

.0.42,-0.85,0.28)                                                          )=è BE= (3,-6, 2) è

 è                  

ازاین مثال به وضوح در میابییم که حل مساله به شکل برداری بسیار راحتتر از حل آن به طریق مثلثاتی است.

قضیه وارینون:

     گشتاور یک نیرو حول هر نیرو، مساوی با مجموع گشتاورهای مولفه های آن نیرو حول همان نقطه می باشد.

                     شکل 2-3                                                                 

اثبات: فرض کنیم که به جسم نامشخص m نیروی R اثر می کند، داریم:

لنگر یک نیرو حول یک محور:

     برای به دست آوردن لنگر یک نیرو حول یک محور کافی است لنگر آن نیرو را حول یکی از نقاط روی محور به دست بیاوریم سپس بردار به دست آمده را در بردار یکه ی محور ضرب داخلی نماییم که حاصل آن یک عدد است(در واقع تصویر بردار لنگر در امتداد آن محور).

                                          شکل 2-4                                 

(2-2)

مثال 2-3) مطلوبست لنگر نیروی F  حول محور BC در شکل زیر:

F=10i+6j

A (2, 6, 0), B (6, 10,-3), C (-3,-12, 6)

د) کوپل نیرو:

     لنگری که توسط دو نیروی مساوی ولی با جهت مخالف هم، به وجود می آید را زوج نیرو یا کوپل می گویند.در شکل زیر می خواهیم گشتاور زوج نیروی F و –F را حول مرکز گشتاورگیری دلخواهی به دست بیاوریم:

 

بنابراین:

1. کوپل نیرو از جنس لنگر است. البته این از ابتدا هم قابل تشخیص بود زیرا این دو نیرو در هر راستایی یکدیگر را خنثی می کنند و فقط اثر دورانی بر جسم باقی می گذارند.
2. مستقل از نقطه ی A می باشد. یعنی حاصل کار برداری است که مستقل از نقطه ی مرجع می باشد(بردار آزاد).
3. می توان هر لنگری را ناشی از یک کوپل فرضی در نظر گرفت.

سیستمهای معادل نیروها:

     حال می خواهیم شرایطی را در نظر بگیریم که اگر یک عامل خارجی از قبیل نیرو یا لنگر بر یک نقطه جسم اثر کند این عامل در نقطه های دیگر جسم (یا فضا)چه اثری دارد.برای این کار با استفاده از شکل 2-7 داریم:

در شکل ب در نقطه ی B دو نیروی فرضی یکی موازی و همجهت با F و دیگری موازی و خلاف جهت با آن را در نظر می گیریم.سپس به طور فرضی نیروها را جدا می کنیم و نیروی  (-F) را با نیروی F درA در نظر می گیریم.این دو یک کوپل را تشکیل می دهند بنابراین در کل می توانیم نیروی F در A  را با نیروی F و یک کوپل که از رابطه ی 2-4 به دست می آید،در نقطه ی B جایگزین کنیم. بنابراین توانستیم اثر یک عامل خارجی را در نقطه ای غیر از نقطه ی تحریک به دست بیاوریم. این عمل به اصل انتقال مشهور است.

     باید توجه داشته باشیم که در این حالت M بر r,F عمود است.همچنین این بحث به زمانی مربوط است که تعادل کلی و رفتار کلی جسم مد نظر است وگرنه در حالت کلی مجاز به استفاده از اصل انتقال نیستیم.

     حال مساله را گسترش می دهیم و تحریک چند عامل خارجی که همگی از هم مستقل هستند را بررسی می کنیم. برای این کار و با استفاده از شکل 2-8 داریم: 

  که Fr , Mr  از روابط زیر به دست می آیند:   

به این سیستم، سیستم معادل نیروها در A که یک نقطه ی دلخواه می باشد گفته می شود.

مثال 2-4) با توجه به شکل سیستم معادل در نقطه ی A را به دست بیاورید؟

D(10,0,0), C(10,-8,0) , B(10,-8,8), |F|=100 , F || (-7i-10j+8k)

حال می خواهیم در مورد ساده ترین سیستم معادل نیروها بحث کنیم. برای بحث در مورد ساده ترین سیستم معادل نیروها ابتدا سیستم معادل نیروها را در یک نقطه ی دلخواه به دست آوریم سپس بنابر موقعیت لنگر و نیرو (زاویه ی بین آنها) مساله به چند دسته تقسیم می شود:

الف) نیروهای متقارب: یعنی مجموعه نیروها در یک نقطه اثر کنند و اثری هم از لنگر نباشد در این صورت:

بنابراین ساده ترین سیستم معادل نیروها در محل تقارب نیروها وجود دارد.

ب) نیروهای صفحه ای: در این صورت کلیه ی نیروها بر روی صفحه ای مشخص قرار دارند و کلیه ی لنگرها عمود بر این صفحه هستند. توجه کنید که انتخاب محورهای مختصات بنابر شرایط مساله می باشد.

توجه داریم که r×F  در امتداد Z و M نیز در همین امتداد است.

     بنابر اصل انتقال نیروها و مفهوم آن می توانیم این دو بردار را به گونه ای منتقل کنیم که لنگر به طور کلی از بین برود و تنها یک مولفه ی نیرو باقی بماند.

مثال 2-5) با توجه به شکل زیر مطلوبست:

الف) سیستم معادل در مبدا مختصات.

ب) ساده ترین سیستم معادل نیروها.

محل اثر F1 (0و2و8) و محل اثر F2 (0و3و5).

ب) چون   ، پس می توان نقطه ای یا مکان هندسی نقاطی از فضا را یافت که هرگاه FR را به آنجا منتقل کنیم لنگر کلی خنثی گردد. یعنی اگر فرض کنیم که این نقطه دارای بردار مکان r از مبدا مختصات باشد بنابر مطالب بالا باید داشته باشیم:                                                                     

(در این مثال مکان هندسی در صفحه ی Z=0 قرار دارد)r=xi+yj                                                     

بنابراین:

پس مکان هندسی مزبور،خط به دست آمده است.

ج) سیستم نیروهای عمود بر صفحه:

     این سیستم مانند سیستم نیروهای صفحه ای است با این تفاوت که کلیه ی لنگرها بر روی یک صفحه و کلیه ی نیروها عمود بر این صفحه ی مشخص قرار دارند.

در مورد MR گفتنی است چون کلیه ی r×F در امتداد (i,j) و کلیه ی M ها هم فقط مولفه ی i,j دارند. بنابراین:

پس مانند گذشته می توان مکان هندسی نقاطی از صفحه را به دست آورد که با انتقال نیرو به آنجا لنگر حذف گردد.

مثال 2-6) ساده ترین سیستم معادل را برای شکل زیر به دست آورید؟

حل:                                                                                                   

و محل اثر نقطه ی مزبور است.

د) ساده ترین سیستم در حالت کلی:

     تا اینجا مواردی را بررسی کردیم که بردارهای نیرو و لنگر شرایط خاصی نسبت به هم داشتند. حال مساله ای را در نظر می گیریم که این شرایط حذف شده و سیستم معادل نیروها در یک نقطه دارای هیچ شرایط خاصی نیست. برای این منظور شکل زیر را در نظر می گیریم:

حال دو بردار FR و MR را در نظر می گیریم. لنگر را به دو مولفه یکی در راستای نیرو و دیگری عمود بر آن تجزیه می کنیم. در این صورت می توانیم با انتقال نیرو به مکان مناسب و استفاده از اصل انتقال مولفه ی عمودی لنگر را خنثی کنیم. به این حالت که فقط نیرو و مولفه لنگر موازی با آن باقی می ماند رنچ     (wrench) گفته می شود.رنچ منفی حالتی است که این دو مولفه ی موازی دارای جهتهای مخالف باشند.

با به دست آوردن بردار M2 می توانیم موقعیت نقطه ی B (محل اثر رنچ) را به دست آوریم.

مثال 2-7) مطلوبست رنچ معادل برای شکل زیر. شکل مکعب مربع به ضلع a می باشد و اندازه ی کلیه ی نیروها برابر p در راستای محورهای مختصات است.

ابتدا سیستم معادل را در مبدا به دست می آوریم:

مثال 2-8) در شکل زیر می خواهیم تمام نیروها را با سه نیروی F1,F2,F3 جایگذین کنیم.اندازه ی این نیروها را به دست بیاورید.وزن مخصوص جسم ثابت و برابرN/m3  10می باشد.ضخامت ثابت و برابر 0.25 متر می باشد.(راهنمایی: مرکز جرم مثلث در a/3,b/3 از اضلاع مقابل وتر است.)

F4 = -50kو در (0و1و1)،-36k  =F5 ،F6 =-16k ،  F7 =-30k و F6 ,F5  در میان ضخامت وارد می شوند و M1 = 50j

ابتدا مختصات نقاطی که نیروهای وزن و نیروی 36 و16 نیوتنی وارد می شوند را محاسبه می کنیم:

 Arctg (3/4) =36.86˚= زاویه ی نشان داده شده در شکل=ө

وزن مستطیل نشان داده شده در شکل 2-18 برابر 1×10×0.25×10 می باشد که در نقطه ی D وارد می شود. همچنین وزن مثلث نشان داده شده در همان شکل برابر 3×4×0.5×10 می باشد که در نقطه ی C وارد می شود. اگر f را نشانه ی سیستم اولیه (first) و s را نشانه ی سیستم ثانویه(second) در نظر بگیریم باید معادلات زیر برقرار باشند: