نیروهای گسترده در علم استاتیک

     در واقعیت، نیروهای متمرکز به معنای واقعی آن کمتر وجود خارجی دارند، زیرا هر نیرویی که به صورت مکانیکی بر یک جسم وارد می شود بر روی یک سطح تماس محدود، هر چند کوچک، گسترده خواهد بود. تنها هنگامی که بعد سطح تماس در مقایسه با سایر ابعاد مربوطه کوچک و قابل چشم پوشی باشد، جایگزین کردن نیروهای گسترده به عنوان یک نیروی گسترده، آنهم در موارد خاص ایرادی ندارد.

     از طرف دیگر اگر بخواهیم اثرات نیروهای داخلی را در جسم بررسی کنیم در این صورت نمی توانیم نیروهای گسترده را متمرکز تلقی کنیم و گسترش واقعی آنها را در محاسبات لحاظ نکنیم.

     هنگامی که نیروها بر ناحیه ای از جسم اثر کنند که ابعاد آن در مقایسه با سایر ابعاد مربوطه قابل چشم پوشی نباشد، در این صورت باید چگونگی گسترش واقعی نیروها را با جمع بندی اثرات نیروهای گسترده بر روی تمامی ناحیه مزبور در نظر بگیریم و به احتساب بیاوریم. بنابراین باید شدت نیروهای موثر بر هر ناحیه از جسم را بشناسیم.این نیروها به سه بخش عمده تقسیم می شوند:

1) گسترش خطی: که گسترش نیروها را در امتداد یک خط در بر دارد. مانند شکل زیر که وزنه ای به کابلی متصل شده باشد:

2) گسترش سطحی: هنگامی که نیرو بر روی یک سطح گسترش یابد. مانند فشار آب پشت یک سد بر روی دیواره ی داخلی سد. شدت نیرو به عنوان فشار برای کنش نیروها در سیالات و به عنوان تنش برای گسترش نیروهای داخلی در جامدات شناخته می شود.

 

3) گسترش حجمی: نیرویی که در تمامی حجم یک جسم وارد می شوند مانند نیروی گرانش.

    همانگونه که گفته شد جاذبه ی وارد از زمین بر یک جسم صلب را می توانیم با یک تک نیروی W نشان دهیم. دیدیم که این نیرو، که آنرا نیروی گرانی یا وزن جسم می نامیم، باید بر مرکز گرانی جسم وارد شود. اما همانگونه که در بخش قبل دیدیم در واقع زمین به تک تک ذرات تشکیل دهنده ی جسم نیرو وارد می کند. اما خواهیم دید که به جای همه ی این نیروهای کوچک می توانیم همان تک نیروی معادل W را به کار بریم. روش تعیین مرکز گرانی یعنی نقطه اثر برایند نیروی وزن را برای جسمهای با اشکال مختلف خواهیم آموخت.

مرکز جرم: می توانیم ثابت کنیم که برای اجسامی که ابعاد آنها در مقایسه با ابعاد کره زمین قابل چشم پوشی باشد میدان جاذبه گرانش زمین یکنواخت بوده و خطوط اثر آن موازی با یکدیگر است و در نتیجه مفهوم گرانیگاه یگانه قابل پذیرش است. اما برای اجسامی که ابعاد آنها در مقایسه با ابعاد کره ی زمین قابل چشم پوشی نباشد در یک تحلیل دقیق، این واقعیت نیز لحاظ می شود که امتداد نیروهای گرانشی وارده  بر ذرات  مختلف  جسم  به اندازه ای جزیی با یکدیگر متفاوتند زیرا که امتدادهای این نیروها به سوی مرکز جاذبه کره زمین همگرا می شوند. همچنین از آنجا که ذرات جسم در فواصل متفاوت از زمین قرار دارند، شدت میدان جاذبه بر روی همه ی ذرات جسم، دقیقا ثابت نیست. بنابراین خطوط اثر برایندهای نیروی جاذبه دقیقا همرس نخواهد بود و لذا یک گرانیگاه منحصر به فرد به معنای دقیق وجود ندارد. اما به هر حال، چون اکثر سازه های مهندسی در ابعادی بسیار کوچکتر از ابعاد کره ی زمین ساخته می شوند این شرایط را در نظر نمی گیریم و مفهوم گرانیگاه یگانه را می ﭙذیریم.

اصل گشتاورها: در فصول ﭘیش با مفهوم لنگر یا گشتاور آشنا شدیم. همچنین قضیه ی وارنیون را ثابت کردیم. همچنین در فرایند اثبات و بررسی رنچ به طور ضمنی با این اصل آشنا شدیم. دیدیم که گشتاور نیروی برایند حول هر نقطه ی دلخواهی مساوی با مجموع گشتاورهای نیروهای اولیه ی مجموعه، حول همان نقطه می باشد. این بیان، اصل گشتاورها است.

     برای تعیین مکان گرانیگاه هر جسمی، اصل گشتاورها را در مورد مجموعه موازی نیروهای گرانشی به کار می بریم تا مکان برایند این مجموعه را بیابیم. گشتاور نیروی برایند W حول هر محوری، مساوی با گشتاورهای نیروهای گرانشی dW وارده بر کلیه ذرات جسم به عنوان اجزاء بینهایت کوچک جسم حول همان محور است.

     برایند نیروهای گرانشی وارده بر تمامی ذرات جسم، وزن مزبور بوده و برابر انتگرال

می باشد.

     به عنوان نمونه، اگر اصل گشتاورها را حول محور yها به کار بریم، گشتاور وزن اجزاء اجسام حول این محور مساوی با xdW و مجموع این گشتاورها به ازای تمامی اجزاء جسم برابر با است. این مجموع گشتاورها باید مساوی    ، یعنی گشتاور مجموع باشد. بنابراین با استدلال مشابه داریم:

در این عبارت ρ چگالی جسم است. در مواردی که ρ در تمامی توده ی جسم ثابت نباشد اما بتواند به صورت تابعی از مختصات جسم بیان شود باید تغییرات چگالی را نیز لحاظ کنیم.

با استفاده از مفهوم انتگرال باید توجه کرد که این روابط برای سیستمهایی که به طور پیوسته توزیع نشده اند نیز به کار می رود.

مرکز هندسی خطوط، سطوح و احجام:

     در بخش پیش با مرکز جرم آشنا شدیم. اگر چگالی در تمامی توده ی جسم یکنواخت باشد، مرکز هندسی بر مرکز جرم منطبق می گردد در حالی که اگر چگالی تغییر کند، این دو مرکز به طور کلی بر یکدیگر منطبق نخواهد بود.

     بسته به مدلسازی جسم محاسبات مربوط به مراکز هندسی در سه دسته تقسیم می شوند:

الف) خطوط: یک میله ی باریک یا سیم به طول L، سطح مقطع A و چگالی ρ مطابق شکل را می توان به تقریب یک پاره خط تلقی کرد که برای آن AdL ρ dm=  می باشد، بنایراین:

ب) سطوح: هنگامی که جسم با چگالی ρ و ضخامت کوچک ثابت t مانند شکل باشد، آنرا به صورت سطحی با مساحت A مدلسازی می کنیم. جرم المان این جسم برابر tdA ρ dm= می باشد و مختصات مرکز هندسی از روابط زیر به دست می آید:

ج)احجام: برای جسمی عمومی با حجم V و چگالی ρ، جرم جزء بینهایت کوچک جسم برابر   dV ρ=dm   است. اگر ρ در تمامی حجم جسم ثابت باشد بازهم مرکز جرم همان مرکز هندسی خواهد بود و مختصات مرکز هندسی از روابط زیر به دست خواهد آمد:

     باید در نظر داشت که در اغلب موارد مشکل اصلی در یک نظریه اشکال در درک مفاهیم آن نیست بلکه در روش به کار بردن آن است. بنابراین در انتخاب جزء بینهایت کوچک و سایر عوامل حل مساله باید به چند نکته توجه کنیم:

1. مرتبه جزء بینهایت کوچک: هرگاه امکان پذیر باشد، المان را به گونه ای انتخاب می کنیم که تنها با یکبار انتگرال گیری تمامی شکل را بپوشانیم. این مرحله به شکل مناسب المان باز می گردد که می تواند در کاهش حجم محاسبات نقش به سزایی داشته باشد. به عنوان مثال برای یک مربع در نظر گرفتن المان قطبی یا دایره ای مناسب نیست ولی برای قطاعی از دایره استفاده از المان قطبی حجم محاسبات را به شدت کاهش می دهد.
2. پیوستگی: در صورت امکان، المانی را انتخاب می کنیم که با یکبار انتگرال گیری پیوسته تمامی جسم را بپوشانیم. به عنوان مثال در شکل زیر المان افقی به المان قائم ترجیح داده می شود:

3. چشم پوشی از عبارات مرتبه بالاتر: می توان از عبارات مرتبه بالاتر در مقایسه با عبارات مرتبه پایین تر چشم پوشید با توجه به شکل، نوار قائم با عبارت dA= y dx مشخص می گردد و از عبارت مرتبه دوم 1/2 dx dy در مقایسه با عبارت مرتبه اول صرف نظر می شود.

گشتاور اول سطح: انتگرال را گشتاور اول سطح A نسبت به محور y می نامند و آنرا با  نشان می دهند. همچنین انتگرال  را گشتاور اول سطح A نسبت به محور x می نامند و آنرا با  نشان می دهند. بنابراین:

     گشتاورهای اول سطح برای تعیین تنشهای برشی در تیرهای تحت بارگذاریهای عرضی در مقاومت مصالح مفید هستند.

     رابطه هایی مشابه با معادله های بالا را می توان برای تعیین گشتاورهای اول یک خط نسبت به محورهای مختصات به کار برد و این گشتاورها را به صورت حاصلضرب طول خط و مختصات  مرکز هندسی آن بیان کرد.

     توجه داشته باشید که گشتاور اول سطح حول محور تقارن برابر صفر است زیرا اگر شکل دلخواه زیر را در نظر بگیریم و aa' خط تقارن آن باشد، آنگاه به ازای هر المانی که در طرف راست با طول بازوی d قرار دارد، المانی نیز در طرف چپ با همان مساحت با طول بازوی(-d)  قرار دارد.

         علاوه براین اگر سطحی یا خطی دارای دو محور تقارن باشد، مرکز هندسی آن باید در محل تلاقی دو محور تقارن قرار داشته باشد. این ویژگی به ما امکان می دهد که مرکز هندسی سطوحی مانند دایره، مربع، مستطیل و مرکز هندسی خطوطی به شکل محیط دایره، مربع و غیره را فورا تعیین کنیم.

     به این نکته ی بسیار مهم توجه کنیم که برای تمام نقاط جزء بینهایت کوچک باید بازوی گشتاورگیری ثابت باقی بماند به عنوان مثال در شکل زیر هنگام محاسبه ی  با استفاده از المان مشخص شده به طور قطع به مشکل برخورد می کنیم.

                                                                                     

به عنوان مثال اگر شکل زیر را در نظر بگیریم و برای المانهای نشان داده شده داریم:

گفتنی است که  با این المان فعلا   قابل محاسبه نیست

 با این المان فعلا قابل محاسبه نیست.

     هر دو قابل محاسبه هستند.

قضیه: گشتاور اول سطح حول هر محور دلخواه برابر است با حاصلضرب فاصله ی محور دلخواه با محور موازی آن گذرنده از مرکز سطح در مساحت سطح.

مثال: با استفاده از یک نوع المان (افقی یا قائم) گشتاورهای اول سطح زیر را حول محورهای x,y به دست آورید.

با استفاده از قضیه ی بالا داریم:

     در این مثال ابتدا  را برای جزء بینهایت کوچک با نام   معرفی کردیم و سپس با مفهوم انتگرال آن را به روی کل سطح بسط دادیم. همچنین در این مثال از قضیه ی پیش به طور صریح استفاده شده است. بدین گونه که ابتدا گشتاور اول سطح المان را حول محور y به دست می آوریم (فاصله ی محور گذرنده از مرکز سطح بینهایت کوچک برابر  می باشد) سپس انتگرال گیری می کنیم.

مثال: مرکز سطح و مرکز بار را برای یک سطح مثلثی و یک بار مثلثی به دست آورید.

     ابتدا سطح مثلثی را در نظر می گیریم:

در مثال بالا شدت بار در شکل سمت راست با افزایش طول افزایش پیدا می کند و بیشترین شدت بار در انتهای تیر به اندازه ی می رسد. بنابراین با توجه به روابط مثلثاتی شدت بار در هر نقطه ای به طول x برابر  خواهد بود.

مثال: مطلوبست محاسبه ی ممان اول سطح نسبت به محور x برای شکل زیر.

مثال: مرکز بار را برای نیروی گسترده ی شکل زیر به دست آورید.

روش اول: فرض کنیم معادله ی خط بار L به صورت باشد که فاصله ی x از ابتدای تیر محاسبه می شود.بنابراین (جهت مثبت را رو به بالا در نظر می گیریم):

روش دوم: با استفاده از مفهوم انتگرال و سیگما بار مورد نظر را را به یک بار مستطیلی، با شدتی برابر سطح مستطیل مفروض و در فاصله ی           از مبداء (L طول ضلعی است که بار بر آن وارد می شود)، و یک بار مثلثی با شدتی برابر سطح مثلث و در فاصله ی  از مبداء، تقسیم می کنیم.بنابراین:

(واحدها بر اساس SI هستند.)

مثال: عکس العملهای تکیه گاهی را در سیستم مقابل محاسبه کنید.

سیستم پایدار و معین استاتیکی است.

برای نوشتن گشتاور حول هر نقطه ای می توانیم یا از ابتدا به صورت دیفرانسیلی با مساله برخورد کنیم یا مانند گذشته مرکز بار را به دست بیاوریم و مساله را ادامه دهیم.

مثال: با توجه به شکل زیر محل اثر برایند نیروها و کل برایند را به دست آورید.سیستم سه بعدی با بار گسترده ی سطحی متغیر است.

(المانی به صورت مستطیلی در صفحه ی xoy در نظر می گیریم که در شکل با رنگ صورتی نشان داده شده است،بار معادل برابر باری است که بر سطح مستطیلی وارد می شود و در شکل با بار متمرکز آبی رنگ نشان داده شده است.).

 

باید توجه داشت که بنابر المان شکل قبل داریم:

همچنین

لنگر بار گسترده حول محور yها + لنگر نیروهای متمرکز حول محور yها

                                                                                                        

مثال: برای شکل زیر مرکز ثقل و وزن جسم را با ρ ثابت (چگالی ثابت) و ضخامت ثابت t محاسبه کنید.(سمت چپ جسم محدود به سهمی می باشد.)

حال برای راحتی کار ضخامت ثابت t را در نظر نمی گیریم و مساله را دو بعدی تلقی می کنیم. سپس این ضخامت را هم وارد مساله می کنیم.

بنابر شکل داریم:

مثال: اگر بار گسترده ای مانند شکل زیر داشته باشیم برایند این نیروها و عکس العملها ی تکیه گاهی را به دست آورید.

در اینجا به علت برداری بودن نمی توانیم با یک انتگرال گیری کل نیروی F را به دست بیاوریم بلکه باید این جزء کوچک نیرو را به دو قسمت تجزیه کنیم یکی در راستای محور xها و دیگری در راستای محور yها.