استاتیک سیالات

استاتیک سیالات:

     سیال، ماده ی پیوسته ای است که در حال سکون نمی تواند نیروی برشی را تحمل کند. نیروی برشی، نیرویی مماس بر سطح است و هنگامی به وجود می آید که لایه های مجاور سیال دارای سرعتهای متفاوت باشند. بنابراین سیال ساکن به سطوحی که در تماس با آن هستند فقط نیروی عمودی وارد می کند.

الف) فشار سیال: فشار در هر نقطه از سیال ساکن در تمام جهات یکسان است (قانون پاسکال). برای اثبات این موضوع، یک المان دیفرانسیلی از سیال به شکل منشور مثلث القاعده در نظر می گیریم و تعادل آنرا بررسی می کنیم. فشار روی وجوه المان را با نشان می دهیم. با توجه به اینکه نیرو برابر است با حاصل ضرب فشار در سطح، معادلات تعادل نیروها را در جهات x,y می نویسیم:

با جاگذاری مقادیر  داریم:                                    

با دوران المان به اندازه ی  رادیان در می یابیم که  نیز با فشار در سایر جهات برابر است. بنابراین، فشار در هر نقطه از سیال ساکن در تمام جهات یکسان است. لازم به ذکر است که در این تحلیل وزن المان به علت اینکه کمیت دیفرانسیلی مرتبه ی سوم است در مقایسه با سایر جملات حذف می گردد.

     در سیال ساکن، فشار تابعی از ارتفاع است. برای تعیین این تابع، مطابق شکل یک المان دیفرانسیلی از ستونی از سیال با سطح مقطع dA را در نظر می گیریم و تعادل آنرا بررسی می کنیم. جهت مثبت h را به طرف پایین می گیریم. معادله ی تعادل را برای المان سیال در جهت قائم می نویسیم:

بنابراین فشار در سیال با افزایش عمق افزایش می یابد.

حال اگر  ثابت باشد (مایعات چون اکثرا تراکم ناپذیرند دارای چگالی ثابت می باشند.) می توانیم از معادله ی بالا انتگرال بگیریم:

که در آن  فشار روی سطح مایع، در ارتفاع h = 0 می باشد.

ب) نیروی هیرو استاتیکی وارد بر سطوح تخت: در شکل، یک صفحه ی تخت با شکل دلخواه را نشان داده ایم که در مایعی غوطه ور شده است. سطح افقی مایع در صفحه ی  است و سطح صفحه با امتداد قائم زاویه ی  می سازد. نوار افقی  dA به موازات سطح مایع را در نظر می گیریم. فشار p، در طول نوار ثابت است زیرا عمق در طول نوار تغییر نمی کند. بنابراین، نیروی وارد بر این نوار برابر است با:

کل نیروی وارد بر سطح A را با انتگرالگیری به دست می آوریم:

که برای انتگرالگیری باید x و h را بر حسب y بیان کنیم.

     دومین نیازمندی تحلیل فشار سیال، تعیین گشتاور نیروهای فشاری است. در شکل اصل گشتاورها را نسبت به محور x می نویسیم:

نقطه ی P که در آن R بر صفحه وارد می شود، مرکز فشار است. باید توجه داشت که مرکز فشار و مرکز صفحه الزاما یکی نیستند.

ج) شناوری: کشف اصل شناوری را به ارشمیدس نسبت می دهند. قسمتی از سیال را در نظر بگیرید که در یک سطح بسته ی خیالی که مرز آن با خط چین نشان داده شده است، محصور است. اگر بتوان توده ی سیال داخل این سطح بسته را بیرون کشید و همزمان مطابق شکل نیروهایی را که این توده بر دیواره ی حفره ی باقیمانده وارد می کند جایگزین آن کرد، تعادل سیال پیرامون آن به هم نخواهد خورد. در شکل دیاگرام آزاد این توده ی سیال را قبل از آنکه بیرون کشیده شود، نشان داده ایم. این دیاگرام آزاد نشان می دهد که برایند نیروهای فشاری وارد بر سطح این توده ی سیال، مقدارش با وزن آن، W، برابر است و جهتش مخالف نیروی وزن است و از مرکز جرم توده ی سیال می گذرد. اگر توده ی سیال را با جسمی به همین شکل و همین اندازه جایگزین کنیم، نیروهای سطحی وارد بر این جسم با نیروهایی که به توده ی سیال وارد می شوند، یکی هستند. به این ترتیب، نتیجه می گیریم که نیروی برایند وارد بر سطح جسم غوطه ور در سیال برابر است با وزن سیال جابه جا شده و جهتش در خلاف جهت وزن است و از مرکز سیال جابه جا شده می گذرد. این نیروی برایند را نیروی شناوری می گوییم.

 

که در آن چگالی سیال، g شتاب جاذبه و V حجم سیال جابه جا شده است. در مورد مایعات که چگالی ثابت است، مرکز جرم مایع جابه جا شده بر مرکز حجم جابه جا شده منطبق است.

اگر چگالی جسم غوطه ور کمتر از چگالی سیال باشد، تعادل نیروها در جهت قائم برقرار نمی شود و جسم صعود می کند. اگر سیال مایع باشد، جسم آنقدر بالا می رود تا به سطح مایع برسد و در آنجا در وضعیتی تعادلی، به سکون می رسد. در سطح مشترک مایع و گاز، مثل آب و هوا، اثر فشار گاز روی قسمتی از جسم شناور که در بالای مایع قرار دارد با اثر فشار اضافی مایع، که ناشی از فشار گاز روی سطح مشترک است، خنثی می شود.

مثال) میله ی یکنواختی به طول L و وزن مخصوص سطحی γ مانند شکل در درون سیّالی قرار دارد. اگر وزن مخصوص مایع 'γ باشد و γ > 'γ مطلوبست زاویه ی θ که میله با افق می سازد.

مثال) برای شکل زیر مطلوبست به دست آوردن کمترین مقدار  Q برای بسته نگه داشتن دریچه در صورتی که جرم دریچه برابر  و عرض دریچه برابر  و چگالی آب برابر  در نظر گرفته می شود.

روش اول: ابتدا دیاگرام آزاد دریچه را رسم می کنیم (b عرض دریچه است):

     

فرض کنیم ρ چگالی سطحی دریچه باشد:

روش دوم: دیاگرام آزاد دریچه و قسمتی از آب را رسم می کنیم:

حال باید  را پیدا کنیم، با توجه به شکل داریم ():

 مثال) صفحه ی مستطیلی AB به ارتفاع 4 متر و عرض 6 متر در انتهای یک کانال آب شیرین نصب شده است. عمق آب در کانال 3 متر است. لبه ی بالایی صفحه در A لولا شده است، و لبه ی پایینی آن به برجستگی ثابت B تکیه دارد. نیرویی که این برجستگی بر صفحه وارد می کند چقدر است؟

ابتدا دیاگرام آزاد صفحه را رسم می کنیم.نیروهای وارد بر صفحه عبارتند از: نیروی وارد شده از لولای A که مؤلفه های افقی و قائم آنرا نشان داده ایم، نیروی وزن صفحه W=mg که نا معلوم است، نیروی افقی B که مجهول است و نیروی برایند R ناشی از توزیع فشار روی سطح.

چگالی آب شیرین است. بنابراین، فشار متوسط روی صفحه برابر است با:

 

این نیرو از مرکز هندسی مثلث توزیع فشار می گذرد که به اندازه ی یک متر بالاتر از لبه ی پایینی صفحه است. حال برای تعیین نیروی مجهول B، گشتاور نیروها حول A را برابر صفر قرار می دهیم.