· بررسی معادلات منحنی الاستیک یک تیر و رسم آن
· بهدست آوردن شعاع انحنای یک تیر تحت خمش خالص
· تحقیق قانون ماکسول
· بررسی عکس العملهای تکیهگاهی در یک تیر
تیرها کاربردهای مختلفی دارند به عنوان مثال میتوان به کاربرد آنها در بالهای هواپیما ، تیرهای نگهدارنده سقف بالکن ، دندانه چرخدندهها (که همه موارد فوق یک سر گیردار میباشند) و … اشاره کرد.
درست است که میزان خیزتیرها در مقایسه با طول آنها ممکن است اندک باشد ، اما همین خیز اندک در مواردی مثل دستگاههای ابزار دقیق ، بازوهای روباتها و … اهمیت پیدا میکند. این دستور کار شامل چند آزمایش مختلف است که در ذیل به شرح آنها میپردازیم. قبل از شروع به توضیح آزمایشها به شرح دستگاه و موارد کلی مربوط به دستور کار میپردازیم.
با دستگاه خمش تیر (شکل1) آزمایشهای متفاوتی در مورد تیرها میتوان انجام داد مانند بدست آوردن مدول الاستیسیته ، شعاع انحنای تیر ، خیز تیرها. همچنین شرایط متنوعی با تکیهگاههای متنوع (ساده ، لغزشی ، گیردار) و بارگذاریهای نقطههای ، گسترده ، ثابت یا در حال حرکت ، برای تیر قابل ایجاد است.
شکل(1) شکل دستگاه
به عبارت دیگر آزمایشات متنوعی با این دستگاه قابل انجام است که با آنها میتوان اکثر مباحث مربوط به خمش تیرها را پوشش داد. در شکل 2 نمای شماتیک دستگاه نشان داده شده است.
شکل (2) نمای شماتیک دستگاه خمش تیرها
قسمتهای مختلف تشکیلدهنده دستگاه عبارتند از :
1- چارچوب دستگاه : که اجزای دیگر دستگاه بر آن واقع شدهاند.
2-
تکیهگاه
گیردار : این تکیهگاه با علامت نشان
داده میشود. با اهرم پیچی که در زیر پایه این تکیهگاه قرار دارد میتوان تکیهگاه
را بر روی دستگاه جابجا کرد و با پیچهایی که بر روی این تکیهگاه قرار داده شده میتوانید
محل قرار گرفتن تیر در تکیهگاه را محکم کنید.
3-
تکیهگاههای
ساده (لغزشی) : این تکیهگاه با علامت نشان
داده میشود. درون این تکیهگاهها یک سنسور الکتریکی نیرو (لودسل) ، برای اندازهگیری
نیروی تکیهگاهی تعبیه شده است. با پیچی که بالای لودسل قرار دارد میتوان ارتفاع
تکیهگاه را تنظیم کرد. همچنین با اهرم پیچی (زیر تکیهگاه) میتوان آن را روی
دستگاه جابجا کرد. دو تکیهگاه ساده در این دستگاه وجود دارد.
4- کفههای بارگذاری : سه کفه بارگذاری برای بارگذاری در نقاط مختلف تیر به کار میرود. روی این کفهها وزنههای استاندارد قرار میگیرد.
5- نمونه آزمایشی : تیر مورد آزمایش
6- ساعتهای اندازهگیر : سه ساعت اندازهگیر برای اندازهگیری خیزتیرها در نظر گرفته شدهاند. با شل کردن اهرم پیچی پشت ساعتها میتوان آنها را روی چارچوب جابجا کرد.
7- خطکش فلزی : برای اندازهگیری فواصل مورد نیاز در آزمایش به کار میرود.
ساعت اندازهگیری مورد استفاده در این آزمایش در شکل 3 به
صورت شماتیک نشان داده شده است. این ساعت دارای یک عقربه بزرگ و یک عقربه کوچک میباشد.
هر قسمت برای عقربه بزرگ برابر و هر
قسمت برای عقربه کوچک برابر با
میباشد
پس خیز کلی بر حسب
:
0.01*
(عدد عقربه بزرگ (کوچکتر از 100))+ (جابجایی عدد عقربه کوچک (تعداد دور عقربه
بزرگ))=
روی صفحه بزرگ ساعت ، دو سری عدد از 100-0 نوشته شده است (برای دو جهت حرکت عقربهها). پس با توجه به جهت حرکت عقربه بزرگ یک سری از اعداد را برای خواندن خیز تیر باید انتخاب نمود.
با شل کردن پیچ تنظیم میتوانید با چرخاندن صفحه بزرگ ساعت ، عقربه بزرگ را روی صفر تنظیم کنید.
دقت کنید در زمانی که عقربه بزرگ را روی صفر تنظیم میکنید ، عقربه کوچکتر روی صفر نباشد (به عبارت دیگر فنر ساعت قدری جمع شده باشد).
شکل (3)
1- در مواردی که بیش از یک ساعت اندازهگیر استفاده میشود ، هر دانشجو مسئول خواندن عدد یک ساعت باشد.
2- دقت کنید در زمانی که عقربه بزرگ را روی صفر تنظیم میکنید ، عقربه کوچکتر روی صفر نباشد (به عبارت دیگر فنر ساعت قدری جمع شده باشد). فنر ساعت در صورت حرکت ساعتگرد عقربهها جمع میشود. در آزمایش اول و دوم خیز تیر به گونهای است که باعث حرکت پادساعتگرد عقربهها میشود ـ به عبارتی سبب باز شدن فنر میشود
- برای این که بتوانید در این حالت از ساعتها برای اندازهگیری خیز استفاده کنید باید فنر ساعت زمانی که عقربه را روی صفر تنظیم میکنند در تماس با تیر قدری جمع شده باشد.
3- تیر در اثر وزن خود قدری خم میشود. شما پس از قرار دادن تیر روی تکیهگاهها ، ساعت را در تماس با آن قرار دهید و روی صفر تنظیم کنید. حال میتوانید بارگذاری را انجام دهید. با این شرایط ، خیزی که ساعت نشان میدهد فقط مربوط به بارگذاری خارجی است و وزن خود تیر تاثیری در آن ندارد ، که مطلوب ما هم ، همین است.
4- همچنین بهتر است قسمت فنری ساعت همیشه بر روی خط مرکزی طول تیر قرار داده شود تا در صورت انحنای تیر، تاثیری در خواندن عدد ساعت نداشته باشد. در صورتی که تیرها انحنای زیادی داشته باشند آزمایش با دقت کمتری همراه خواهد بود.
5- عقربه بزرگ ساعت ممکن است در یک رنج کوچک تغییر داشته باشد ، شما میانگین آنها را در نظر بگیرید.
6-
ساعتهای
اندازهگیری ماکزیمم حدود کورس
دارند.
1-
برای جلوگیری
از پیدایش خطا بهتر است تمام محاسبات خود را در سیستم انجام دهید.
2-
اندازهگیری
مقطع تیر (شکل 4) و بدست آوردن ، باید با کولیس و به دقت انجام گیرد ، چرا
که عدم دقت در این امر میتواند خطای زیادی در آزمایش ایجاد کند. (با توجه به این
که عرض تیر در محاسبه
، به توان 3 میرسد عدم صحت آن میتواند
نتایج شما را کلا با خطای بزرگی مواجه کند.) بهتر است عدد عرض مقطع تیر با دقت
در
محاسبات وارد شود. برای اندازهگیری دقیق سطح مقطع ، این کار را در چند مقطع از
تیر انجام دهید و میانگین آنها را در نظر بگیرید.
شکل 4 ـ مقطع تیر
3- وزنهها را به آرامی در محل بارگذاری قرار دهید و یک دفعه آن را رها نکنید (دست خود را زیر محل بارگذاری قرار دهید تا آرام آرام پایین بیاید).
4- در هر آزمایش تکیهگاه را به خوبی سفت کنید. (به خصوص تکیهگاه گیردار را ، چون گشتاوری که به آن اعمال میشود در مقایسه با موارد دیگر بزرگتر است).
5- در حین انجام آزمایش مراقب باشید تیر از روی تکیهگاهها نیفتد.
6- تکیهگاههای محل لودسل قابلیت تنظیم ارتفاع دارند. قبل از هر آزمایش آنها را به گونهای تنظیم کنید که تیر روی آنها کاملا افقی قرار گیرد. (در دقت آزمایش تاثیرگذار است به خصوص در آزمایش دوم). با پیچی که در زیر قسمت مثلثی روی لودسل است میتوانید این کار را انجام دهید.
7-
خمش تیر در
اوایل خم شدن خطی است. (با بارگذاری زیاد و در نتیجه خمش زیاد تیر رابطه بین (خیز
تیر) و
(بار اعمالی)
ممکن
است از حالت خطی خارج گردد). در نتیجه بارگذاری و طول تیر را به نحوی انتخاب کنید
که موارد بالا را پوشش دهد. مثلا بار را آنقدر زیاد در نظر نگیرید که خیز تیر از
محدوده اندازهگیری ساعت خارج گردد. با توجه به موارد فوق پس از کمی تمرین میتوانید
بارگذاری و طول بهینه برای آزمایش هر تیر دلخواهی را پیدا کنید.
8- در حین انجام آزمایش به دستگاه ضربه نزنید و به آن تکیه ندهید. (به دلیل دقت ساعتها این کار موجب اختلال در عدد آنها میشود.)
9-
از تست نمونههای
با عرض سطح مقطع بیشتر از و
طول موثر بیشتر از
و
بارگذاریهای زیاد اجتناب کنید. به دلیل خمش بسیار اندک تکیهگاهها و قاب دستگاه
تحت بارگذاریهای بالا ممکن است نتایج با خطایی بیش از حد انتظار بدست آید.
10- وجود خطای اندک در آزمایشهایی که شما انجام میدهید ، امری طبیعی است. برای اندازهگیری دقیق یک کمیت باید آزمایشهای متعددی انجام داد و متوسط نتایج این آزمایشها را به عنوان نتیجه نهایی در نظر گرفت.
11- انحنا داشتن نمونهها یکی از عوامل ایجاد خطاست. از تست چنین نمونههایی خودداری کنید. در صورتی که تیرهای همراه دستگاه به هر علتی (ضربه خوردن در جابجایی و …) دچار انحنا شدند نسبت به تعویض آنها اقدام نمایید.
ابعاد میله : 20×5 mm
L=1m
با توجه به شکل (5) تعاریف زیر را داریم :
خیز
تیر :
و (
، شیب) مشتق اول خیز نسبت به راستای طول تیر
:
و (
، انحنا) مشتق دوم خیز نسبت به راستای طول
تیر :
تعریف ریاضی انحنا :
شکل (5)
رابطه
(1)
عبارت در
برابر 1 به طور نسبی قابل صرفنظر کردن است :
از طرفی به عکس ،
شعاع انحنای تیر گفته میشود ، پس خواهیم داشت :
در تئوری خمش تیرها اثبات میشود که انحنا ، گشتاور اعمالی بر تیر
و
سختی خمشی
به
صورت زیر با هم مرتبط میباشند :
رابطه
(2)
برای اثبات این رابطه میتوانید به فصل چهارم از کتاب مقاومتمصالح بییرـ جانستون مراجعه نمایید.
در حالتی که گشتاور اعمالی تابعی از است
شعاع
انحنا برای هر نقطه از تیر به صورت مجزا تعریف میشود و با
نشان
میدهیم. (شکل 6- الف) اما در حالتی که گشتاور اعمالی در طول تیر ثابت است شعاع
انحنا برای کل تیر ثابت است و با
نشان
میدهیم (در این حالت تیر کمانی از یک دایره به شعاع
میباشد).
(شکل 7 – ب)
شکل (6) الف
شکل (6) ب
در حقیقت رابطه زیر معادله دیفرانسیل دقیق منحنی الاستیک تیر است.
با ترکیب معادلههای دیفرانسیل بین بارهای اعمالی ، نیروی برشی و لنگر خمشی به سلسله معادلههای سودمند زیر میرسیم.
با توجه به شکل (7) داریم :
تابع
شدت بار قائم :
تابع نیروی برشی :
تابع لنگر خمشی :
شیب منحنی الاستیک :
منحنی
الاستیک تیر :
شکل(7)
میبینیم که تابع منحنی الاستیک تیرها یک معادله درجه 4 به صورت زیر است :
این معادله 5 مجهول دارد که تعدادی از آنها را میتوان از شرایط مرزی تیر و تعدادی را با نصب ساعت اندازهگیری در موقعیتهای مناسب به دست آورد.
در حقیقت شرایط مرزی دو گونهاند :
1- شرایط مرزی هندسی ، مثل این که در نقطههای 0=θ یا y=0 بوده و یا مقدار آنها معلوم باشد.
2- شرایط مرزی استاتیکی ، مثل این که در نقطههای M=0 یا V=0 بوده و یا مقدار آنها معلوم باشد.
سه ساعت
اندازهگیری را در فاصله ،
و
تنظیم کنید.
تئوری : رابطه جالبی بین تغییر مکانهای هر دو نقطه از یک تیر وجود دارد. این قانون به صورت زیر قابل بیان است :
«تغییر مکان در نقطه A از یک سازه تحت اثر یک بار در B، درست برابر تغییر مکان B تحت اثر بار در A میباشد.»
قانون فوق کاملا عمومی بوده و در مورد هر نوع سازه خرپا ، تیر ، قاب یا هر سازه ساخته شده از مصالح ارتجاعی که از قانون هوک تبعیت کند ، صادق است. تغییر مکانها ممکن است در اثر خمش ، برش و یا پیچش به وجود آیند. از این قانون بیشتر برای ترسیم خطوط تاثیر سازههای پیوسته ، تحلیل سازههای نامعین و مسائل تحلیل مدلها استفاده میشود. برای مثال یک لنگر واحد در A ، در نقطه B دورانی به وجود میآورد که مقدار آن برابر دورانA تحت اثر همان لنگر در B میباشد.
تکیهگاههای لغزشی و گیردار را طوری تنظیم کنید که شرایط نشان داده شده در شکل (9) ایجاد گردد. (با اهرمهای زیر پایه این تکیهگاه میتوانید آنها را شل یا محکم کنید).
محل بارگذاری را مطابق شکل مذکور روی تیر قرار داده و تیر را روی تکیهگاهها بگذارید.
شکل(9)
محل قرارگیری ساعت اندازهگیری و اعمال نیرو را مطابق شکل تنظیم کنید. بارگذاریهای مختلف را انجام داده و جدول زیر را پر کنید.
بار اعمالی در A (gr) |
خیزتیر در B (mm) |
100 |
|
200 |
|
300 |
|
400 |
|
500 |
|
محل اعمال نیرو را در نقطه B و ساعت اندازهگیری را در نقطه A قرار داده و آزمایش را تکرار کنید.
بار اعمالی در B (gr) |
خیز تیر در A (mm) |
100 |
|
200 |
|
300 |
|
400 |
|
500 |
|
نتایج ارائه شده دو جدول را با یکدیگر مقایسه کنید و ببینید آیا قانون ماکسول در آن صدق میکند.
میتوانید به دلخواه محل قرارگیری ساعت و اعمال نیرو را تغییر دهید. همچنین با تغییر محل و نوع تکیهگاهها نیز میتوانید این قانون را تحقیق کنید.
با توجه به مطالب ذکر شده در بالا داریم :
( :
گشتاور اعمالی در طول تیر ثابت است)
(شعاع انحنا)
علاوه بر رابطه بالا، میتوان از روش هندسی زیر شعاع انحنای تیر را در صورتی که تحت ممان خالص قرار گرفته باشد به دست آورد. به منظور نیل به این هدف تیر را باید به گونهای بارگذاری کنیم که تحت ممان خالص قرارگیرد.
همانطور که در شکل (10) مشاهده میشود نیروی برشی در فاصله بین دو تکیهگاه صفر و ممان وارده مقداری ثابت دارد.
شکل(10)
میدانیم در دایره رابطه زیر که به رابطه قوت نقطه شهرت دارد برقرار است:
رابطه قوت نقطه :
در این صورت اگر به
ترتیب قرائتهای گیجهای 1،2و3 نشان داده شده در شکل (11) باشد و به دلیل اینکه
منحنی تیر قسمتی از یک دایره است، داریم :
این رابطه تقریبا خطی است.
که در این رابطه g
شیب نمودار w-h است.
آزمایش زیر را نیز میتوانید برای هر سه تیر آلومینیومی ، برنجی و آهنی انجام دهید.
فاصله دو تکیهگاه (محل لودسل) را طوری تنظیم
کنید که طول تیری که روی آن قرار میدهید باشد. دو محل بارگذاری را در دو طرف تیر (بعد از
تکیهگاه) قرار دهید. (هرکدام به فاصله
از
تکیهگاهها) و سه ساعت را به صورت متقارن در وسط تیر قرار دهید و آنها را همانطور
که در دستور کار کلی آمده است روی صفر تنظیم کنید (شکل11).
حال دو وزنه 200 گرمی را به طور همزمان در دو طرف تیر قرار دهید. عدد گیجهای اندازهگیری را قرائت کرده و در جداول مربوطه قرار دهید. این کار را برای بارهای 800،600،400 و 1000گرمی هم تکرار کنید.
§ در انجام هر مرحله از آزمایش وزنهها را برداشته و گیجها را صفر کنید و سپس مراحل بعدی آزمایش را انجام دهید.
· مراقب باشید در حین انجام آزمایش تیر نیافتد.
· توصیه میشود عدد هر ساعت را یک دانشجو بخواند.
وضعیت تیر را به صورت زیر در نظر بگیرید
از تحلیل استاتیکی داریم :
به جای نیروها میتوان ممان معادل قرار داد :
M=PL
حال با فرمولی که در تئوری آمده و ممانی که بدست آوردید میتوان شعاع انحنا را به طور تئوری بدست آورد :
( برای
آلومینیوم)
میتوانید تمام واحدها را به سیستم تبدیل کنیم تا از اشتباهات احتمالی جلوگیری
نمایید.
نتایج تئوری و عملی خود را برای شعاع انحنا مقایسه کنید.
تیر زیر را در نظر بگیرید :
تحلیل استاتیکی تیر :
همانطور که ملاحظه میکنید هر دو نیروی تکیهگاه به صورت توابعی خطی از نقطه اثر نیرو میباشند ، آن چه که شما در این آزمایش تحقیق خواهید کرد همین رابطه خطی است.
یکی
از تیرها را انتخاب کنید. آن را بر روی دو تکیهگاه لغزشی محل لودسل قرار دهید به
نحوی که طول موثر تیر
باشد.
در اتصال کابلهای لودسل به پشت نمایشدهنده
دقت کنید که عدد نیروی تکیهگاه بر
روی نمایشدهنده، برایتان مشخص باشد (بدانید کدام عدد مربوط به کدام تکیهگاه است)
در توضیح شرح دستگاه در مورد این امر توضیح داده شده است.
پس از گذاشتن تیر بر روی تکیهگاه و روشن کردن
نمایشدهنده ، با فشار دادن کلید برای
هر دو عدد ، آن دو را صفر کنید.
حال وزنه را
در محل بارگذاری قرار دهید و محل بارگذاری را در فواصل
جابجا کنید. نیرویی که هر تکیهگاه در هر مرحله
نشان میدهد را در جدول زیر یادداشت نمایید.
جمع نیروهای تکیهگاهی |
نیروی تکیهگاه B
|
نیروی تکیهگاه A |
فاصله
اعمال بار از تکیهگاه A |
|
|
|
10 |
|
|
|
20 |
|
|
|
30 |
|
|
|
40 |
1-
مقادیر جدول
فوق را به صورت نمودار بر
حسب
،
بر
حسب
و
بر
حسب
در
یک مختصات رسم کنید.
2-
با امتداد
دادن خطوط مقادیر نیروهای تکیهگاهی را برای حالتی که میباشد
بدست آورید.
3- در پایان به عنوان یک تمرین سعی کنید منابع خطا در انجام آزمایشهای فوق را پیدا کنید.
نیروهای عکسالعمل تکیهگاهی توسط دو نیروسنج الکترونیکی اندازهگیری و روی نمایشدهنده دیجیتالی نمایش داده میشود. پانل جلوی نمایشدهنده در شکل 13 نشان داده شده است.
شکل (13)
همانطور که مشاهده میشود مقدار نیروهای عکسالعمل تکیهگاهی با 5 رقم با معنای علامت دار و با دقت 1/0 درجه نشان داده میشود. همچنین کلیدهایی نیز روی پانل وجود دارد که عبارتند از:
ZERO : برای صفر کردن عدد نمایشدهنده به کار میرود.
MAX : با فشردن این کلید مقدار بیشینه و کمینه نیروها نمایش داده میشود.
HOLD : مقادیر جاری نمایشگرها ثابت میشود.
CAL : با فشردن این کلید میتوان نمایشدهنده را کالیبره کرد. بدین منظور باید یک وزنه مشخص روی سنسورها قرار داد و با کلیدهای بالا و پایین نمایشگر را کالیبره کرد.
نرم افزار Strain :
دکمة Start : پس از شروع آزمایش و بستن تکیهگاهها و
بارگذاری مطلوب ، به منزلة شروع کار دکمة Start را میزنیم.
به منظور صفر کردن نیروها قبل از شروع آزمایش بهکار میرود.
به منظور کالیبره کردن دستگاه استفاده میشود.
برای وارد کردن اطلاعات به نرمافزار Excel و کار بر روی
دادهها در نرمافزار Excel بهکار میرود.
پس از پایان یافتن آزمایش در هر مرحله ، دکمه Stop را بهمنظور پایان یافتن و متوقف نمودن استفاده میکنیم.