تحلیل سازه 2

تحلیل سازه 2

برای تحلیل سازه‌های نامعین، روش شیب ـ افت و روش های دیگر نیاز است. باید تعداد درجات آزادی در یک سازه تعیین گردد. تعداد مجهولات در این سازه های نامعین همان تعداد درجات آزادی است.

درجات آزادی:

دورانی : به تعداد های مستقل سازه تعداد درجات آزاد دورانی

انتقالی : به تعداد های مستقل سازه تعدا درجات آزادی انتقالی

در بدست آوردن درجات آزادی دورانی و انتقالی نیاز است گره‌ها در یک سازه تعیین گردد.

گره: به نقاطی اطلاق می‌شود که محل طلاقی دو عضو یا تکیه‌گاه خارجی یا تغییر مقطع آن باشد.

1.     در گره های صلب  می‌باشد زاویه تغییر نمی‌کند.

2.     در گروه های مفصل  به تعداد اعضای وارد شده بر مفصل می‌باشد.

3.     در تکیه‌گاه گیردار چون دورانی ندارد ().

4.     در تکیه‌گاه غلطکی برشی ().

5.     اگر دو عضو روی یک مفصل باشند () و اگر دو عضو به یک مفصل متصل باشند ().

مثال:

مثال:

مفصل برشی .

در مفصل به تعداد اعضا وارده

درجه آزادی انتقالی

برای تعیین درجه آزادی انتقالی فرض می‌شود سختی محوری بی نهایت باشد. یعی تغییر شکل محوری صفر باشد، ولی نیروی محوری موجود باشد.

L=cte

در صورت تغییر شکل محوری:

(از تغییر شکل محوری صرف‌نظر نشود).

برای تغییر درجات آزادی انتقالی ابتدا گره‌ها را مشخص می‌کنند. سپس کلیه لنگرهای خمشی موجود در گره‌ها را صفر می‌کنیم (گره‌ها را تبدیل به مفصل کرده) شکل های حاصل خرپای می‌شود که تعداد میله های موردنظر برای پایداری این خرپا تعدادی ===== یا همان تعداد درجات آزادی انتقالی می‌باشد.

3=1+2= درجات آزادی

4=2+2= درجه آزادی

درجه آزادی خرپا

در خرپاهای معین درجه آزادی برابر با تعداد اعضای خرپا می‌باشد.

                     

در خرپاهای نامعین، تعداد درجات آزادی برابر است با:

اگر در قابی که از تغییر شکل محوری صرف نظر شود به جای یک عضو از آن قاب عضو  صلب جایگزین شود، درجه آزادی کاهش می‌یابد.

درجه آزادی = 1

اول:

دوم:

در صورتی از تغییر حول محوری صرف نظر نشود.

برای انتقال تمامی گره‌ها تبدیل به مفصل شدند.

                             

شیب ـ افت

یکی از روش های تحلیل سازه های نامعین، حل شیب ـ افت توسط درجات آزادی انتقالی و دورانی صورت می‌گیرد و فرض بر این است که تغییر طول محوری نداشته.

ولی  نیروی محوری داشته باشیم.

هرچه تعداد نامعینی بیشتر درجات آزادی کمتری داریم و حل به روش شیب ‌ـ افت راحت تر است.

درجه آزادی:

m-IL

فرمول شیب ـ افت:

با فرض اینکه روی اعضاء باربری نداشته باشیم.

در حل به روش شیب ـ افت هرگاه سازه‌ای درجه آزادی انتقالی نداشته و همچنین نیروهای موجود فقط از نوع منفرد باشند و فقط به گره داخلی اعمال شود، اثبات می‌شود تمامی ها و ها صفرند و کلیه لنگرهای صفر و در نتیجه نیروهای برشی صفراند سازه‌ها تبدیل به خرپا می‌شود.

اگر نیرو به مفصل وارد شود، تغییری در  نداریم:

اگر خرپا معین باشد، نیروی محوری را بدست می‌آوریم.

اگر خرپا نامعین باشد، نیروی محوری را نمی‌توان بدست آورد.

شیب ـ افت لنگر و برش را می‌دهد، ولی نیروی محوری را نمی‌توان با شیب ـ افت بدست آورد.

مثال:

در سازه فوق اگر قسمت صلب (BC) به اندازه  دوران کند حول نقطه D مطلوب است:

مثال: برای تعادل در نقطه  چقدر است؟

حل. برای تعادل در گره:

روش شیب ـ افت بدون بارگذاری روی اعضاء:

1.     دو سر جوش

2.     یک سر جوش ـ یک سر مفصل

روش شیب ـ افت با بارگذاری روی اعضاء

1.     دو سر جوش

2.     یک سر جوش ـ یک سر مفصل

مقادیر Fem:

مطلوب است لنگر نقطه B؟

(یک سر مفصل ـ یک سر جوش)

حال تعادل در BA با فرمول اصلی

لنگر خارجی

در قاب شکل روبرو اگر تغییر مکان نقطه B برابر 04/0 متر باشد، مطلوب است میزان MBC.

مثال: در تیر شکل زیر مطلوب است ممان فنر پیچشی.

مثال: مطلوب است تحلیل قاب داده شده به روش شیب ـ افت.

حل. در روش شیب ـ افت اگر سازه‌ای دارای کنسول باشد، می‌توان کنسول را حذف نموده، لنگر آن را به تکیه‌گاه مجاور اعمال نمود.

حال برای بدست آوردن  تعادل را در گره b می‌نویسیم.

حال جایگذاری  برای بدست آوردن Mها.

از شیب افت نیروی ممان و نیروی برشی را بدست می‌آوریم.

 مطلوب است تحلیل تیر سرتاسری داده شده در صورتی که تکیه‌گاه C به اندازه 2 سانتیمتر به طرف پایین نشست کرده باشد.

تیر متقارن می‌باشد. برش می‌زنیم.

لنگر در تکیه A برابر صفر است، زیرا مفصل وجود دارد.

معادل تعادل در گره b

مثال:

در صورتی که تکیه‌گاه A، 2 سانتیمتر به طرف پایین نشست کرده و 0.016rad در جهت عقربه های ساعت دوران کرده باشد، قاب داده شده را به روش شیب افت تحلیل نمایید.

همیشه  عمود بر عضو حساب می‌شود.  مثبت و منفی را حساب کنید.

3 مجهول 3 معادله پیدا کنیم.

1. تعادل در c

2. تعادل در b

3. بعد برش ba و cd

لنگرهای تمامی نقاط را بدست آورید.

            

(چون بار روی گره است، هیچ تاثیری در لنگر ندارد. اگر بار روی عضو باشد، تاثیر دارد).

تعادل

برای معادله بعدی، نسبت به یک نقطه فرضی لنگر می‌گیریم.

HA و HB را نداریم. بدست می‌آوریم:

مثال: ضرب

سازه متقارن معکوس  زاویه برابر معکوس

4 مجهول

برای معادله 4 برش از طبقه دوم

روش توزیع لنگر (پخش لنگر یا کراس) سختی

الف) اگر به گره صلبی چند عضو متصل باشد و بار روی اعضاء اعمال نگردد،----- یا جابجایی یا انتقال جانبی در سازه برابر صفر باشد و لنگر خارجی به اندازه M بر گره اعمال گردد، این لنگر به نسبت سختی اعضاء بین اعضاء تقسیم می‌شود.

تعادل در گره C

نکته: در صورتی که انتهای عضو تکیه‌گاه گیردار یا گره صلب باشد، نصف سهم لنگر عضو به انتهای دیگر عضو منتقل می‌شود. بدون آنکه از سهم خودش کم شود. اگر انتهای دیگر عضو مفصلی باشد، چیزی منتقل نمی‌شود. اگر تکیه‌گاه 2 غلطکی باشد، برابر –M به تکیه‌گاه منتقل می‌شود.

تکیه‌گاه را برعکس کنیم.

مثال:

اگر روی اعضا بار باشد، در این صورت تحلیل مشابه با جمع جبری حالات زیر.

ضریب پخش تکیه‌گاه گیردار صفر است.

ضریب پخش تکیه‌گاه مفصلی یک است.

گیردار

D=0                                  D=0

مفصلی

D=1                                  D=1

سختی تعدیل یافته:

می‌توان با توجه به شرایطی مشخص تعدیل‌هایی که بکار برد که عملیات پخش لنگر ساده‌تر شود.

برای تقارن محوری

برای تقارن محوری

برای تقارن مرکزی

برای انتهای دو غلطکی

در کل

تقارن مرکزی                  تقارن محوری

مثال: لنگر تکیه‌گاه a را بدست آورید.

از روش شیب افت

مراحل روش پخش لنگر

1.  ابتدا اتصالات بسته می‌شود (گیردار فرض شود). به این ترتیب که کلیه اعضاء به صورت دو سرگیدار و گشتاورهای گیرداری را برای تمام اعضاء می‌نویسیم.

2.  اتصالات را باز کرده یعنی هر بار یک اتصال باز می‌شود و فرض می‌شود از دوران سایر اتصالات جلوگیری شده باشد. گشتاور باز کننده در این اتصال را باز کرده و گشتاورهای توزیع شده به انتهای نزدیک عضو متلاقی در این اتصال را می‌نویسیم (توزیع با پخش لنگر).

3.  گشتاورهای انتقالی با توجه به ضریب انتقال به انتهای دور این عضوها را بدست می‌آوریم. گشتاورهای انتقالی به انتهای دور به منزله گشتاور گیرداری جدید برای انتهای دور عضو خواهد بود.

4.  اتصال را دوباره می‌بندیم. اتصال بعدی را جهت باز کردن انتخاب می‌کنیم. گام های دو و سه را برای گره باز شده جدید انجام می‌دهیم.

5.  اتصالات به نوبت باز و بسته می‌شود. بنابراین گاه دو و سه چندین بار تکرار خواهد شد. عملیات هنگامی متوقف می‌شود که گشتاورهای انتقالی به حدی کوچک شوند که بتوان از آنها صرف نظر کرد.

6.     از جمع گشتاورها نتایج نهایی را بدست می‌آوریم.

مثال

گشتاور انتهایی عضور

								گام	ردیف
0	0	0	0	0	0	3.5	-3.5		1
-1	0	-0.75	0	-0.5	0	-0.25	0	D.M	2
0	-0.5	0	-0.375	0	-0.35	0	-0.125	C.O.M	3
-1	-0.5	-0.75	-0.375	-0.5	-0.25	2.25	-2.625	Σ

مثال: تمام اتصالات را گیردار فرض می‌کنیم.

از سختی کاهش یافته استفاده کردیم.

حال لنگر گیرداری و بعد باز کردن گره C

ضریب انتقال از گیردار با مفصل 5/0 و دو مفصلی

در گره B لنگر 5/1- می‌خواهیم تا لنگر 6 را صفر کنیم.

حال در گره B لنگر را به سمت A انتقال می‌دهیم.

C

                  

دارای تقارن محوری از وسط نصف می‌کنیم.

مثال: تحلیل کنید.

سختی

1.     داخل مربع ضریب پخش

2.     لنگر گیرداری Fem

3.     در D لنگر باید صفر مفصلی

4.     حال گره B جمعش باید صفر شود.

حال انتقال: سمت D نمی‌توان مفصلی حال تعادل در B باید برقرار شود.

در صورتی که تکیه‌گاه C به اندازه 2 سانتیمتر نشت داشته باشد مطلوب است تحلیل سازه زیر.

E

در صورتی که  را داشته و تغییر مکان در جهت عقربه ساعت باشد:

در صورتی که  را داشته و تغییر مکان در خلاف عقربه ساعت باشد:

در صورتی که  و جهت عقربه ساعت و یک سر مفصل یک سر جوش باشد:

در صورتی که  و جهت خلاف عقربه ساعت و یک سر مفصل یک سر جوش باشد:

اگر چرخش در جهت عقربه های ساعت باشد مقدار لنگر منفی است.

اگر چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت باشد مقدار لنگر مثبت است.

تحلیل قاب با یک درجه آزادی به روش پخش لنگر

برای تحلیل قابی با یک درجه آزادی ابتدا قاب را با گذاشتن تکیه گاهی که تغییر مکان جانبی یا  داریم، از حرکت جانبی آن جلوگیری می‌نماییم. سپس قاب را به روش پخش لنگر تحلیل می‌کنیم. لنگرهای بدست آمده را با تغییر مکان  برای نیروی فرضی  تحلیل می‌نماییم.

لذا لنگرهای گیرداری ناشی از تغییر مکان عضو به صورت زیر بدست می‌آید:

سپس با لنگرهای بدست آمده قاب را برای بار دوم با تغییر مکان بوجود آمده تحلیل می‌کنیم. لنگرهای بدست آمده برای قاب حالت دوم را M' می‌نامیم. سپس با نوشتن معادلات تعادل نیروی تکیه گاهی (تکیه گاهی قرار دادن) را بدست می‌آوریم. در نهایت لنگر نهایی اعضاء برابر خواهد بود.

مثال:

ابتدا لنگر گیرداری

سختی:

سوم پخش

                            

حال باید نیروی تکیه گاهی که سازه را پایدار می‌کند بدست آورد.

حل: برش در ستون ها.

علامت در علامت عدد دیگر تاثیری ندارد.

یک عدد فرضی نسبت به این دو معادله برای بدست آوردن .

با فرض هر مقداری برای Mها با نسبت

روش کانی

مزایای روش کانی نسبت به لنگر

1.     برای سازه های بدون انتقال جانبی حل مساله فقط شامل تکرار یک عمل ساد می‌باشد.

2.  برای سازه‌هایی با انتقال جانبی برای قاب های مستطیلی (منظم) (بدون ---- و شیب) مستقیماً و بدون استفاده از جمع آثار قوا صورت می‌گیرد.

3.  دارای مزیت حذف خود به خود خطاها می‌باشد. خطاهای محاسباتی در ادامه محاسبات خود به خود سرشکن می‌شود.

4.     اگر تغییراتی در ابعاد اعضاء و بارگذاری داشته باشیم نیازی به تجدید عملیات انجام شده نیست.

مراحل روش کانی برای تیرهای سرتاسری

1.     به دست آوردن لنگر گیرداری و سپس لنگر مقاوم که از جمع جبری لنگرهای گیرداری مربوط به آن بدست می‌آید.

2.     بدست آوردن ضریب دوران

3.     بدست آوردن لنگر سوم دوران

نکته: در دور اول (سیکل اول) مقدار  مساوی صفر فرض می‌شود و در سیکل های بعدی مقادیر محاسبه شده لنگر معلوم دوران در رابطه قرار داده می‌شود و آنقدر این سیکل‌ها تکرار می‌شود تا اختلاف  در حد تقریب مطلوب باشد.

4.     بدست آوردن لنگر انتهایی اعضاء

مثال: تحلیل تیر به روش کانی

اگر لنگر خارجی و لنگر کنسول در جهت عقربه ساعت مقدارش منفی و بالعکس است.

1. لنگر گیرداری

مفصل را می‌توان حذف و 5/1 را برابر آن را به گیردار اضافه نمود.

تکیه‌گاه مفصلی داخلی گیردار می‌شود و فقط آخری و اولی را می‌توان 5/1 برابر نمود.

2. سختی

3. ضرایب دوران

1. : جمع کل لنگرهای یک گره

2. لنگر مقاوم را در ----- می‌نویسیم (منهای دو لنگر اطراف)  را بنویسیم.

سیکل اول

گره B

گره C

سیکل دوم

گره B

گره C

سیکل سوم

گره B

گره C

سیکل چهارم

گره B

گره C

بدست آوردن خود لنگر

کنسول حذف و برای B صفر: 2 تا را صفر می‌دهیم به C البته با 2/1 انتقال می‌دهیم.

لنگر گیرداری

سختی

ضرایب دوران

قسمت آخر مساله

سیکل اول

گره C

گره B

گره E

سیکل دوم

گره C

گره B

گره E

روش کانی برای قاب

این روش برای قاب های مستطیل و منظم می‌باشد و منظور از منظم بودن قاب این است که قاب دارای شرایط زیر باشد:

1.     قاب دارای عضو شیب دار نباشد.

2.     به غیر طبقه اول ارتفاع ستون های طبقات دیگر برابر باشد.

3.     تمام اتصالات قاب گیردار بوده و فاقد هرگونه لولای داخلی باشد (لولا = مفصل)

مراحل روش کانی برای قاب ها

1.     گیردار نمودن تمامی گره‌ها در مقابل دوران و انتقال

2.     بدست آوردن لنگرهای گیرداری و سپس لنگر مقاوم در هر گره

3.     بدست آوردن نیروی برشی طبقه در حالت گیرداری

گره ها:

نکات مرحله 3:

الف) وقتی بار جانبی در سازه وارد نشود:                                          

ب) وقتی بار جانبی فقط به گره قاب وارد شود:                              

ج) وقتی بار جانبی به صورت بار گسترده یکنواخت باشد. با توجه به برابر شدن لنگر گیرداری در ابتدا و انتهای ستون؛

در نتیجه:                                                                            

و می‌توان  را برابر سهم افقی آن گره از بار گسترده وارد شده به آن ستون درنظر گرفت.

4.     بدست آوردن ضرایب ارتفاع یا  و لنگر طبقه .

·   بدست آوردن : برای بدست آوردن ضرایب ارتفاع برای قاب‌هایی که ستون های نامساوی دارند ارتفاع یک ستون به عنوان ارتفاع ستون مبنا قرار دارد.

و چون باید به مفصل hr در 5/1 ضرب می‌شود.

·        در تعیین ضریب ارتفاع: ارتفاع ستون با پایه مفصلی 5/1 برابر ارتفاع خودش درنظر می‌گیریم.

·        و لنگر طبقه نیز از روابط زیر بدست می‌آید:

                                                                       ستون با ارتفاع مساوی

                                                                       ستون با ارتفاع نامساوی

5.     ضرایب دوران

6.     بدست آوردن ضرایب انتقالی

7.     بدست آوردن لنگر سهم دوران

8.     بدست آوردن لنگر انتهایی اعضاء

مثال

سختی

ضریب شکل

گیردار

گیردار

مفصلی

ضریب دوران

ضریب ارتفاع

ضریب انتقال

نیروی برشی طبقه

Qr که برای بدست آوردن Mr لنگر طبقه است.

سیکل اول، دوم، سوم و چهارم و سیکل انتقال وجود دارد.

سیکل اول انتقال

سیکل اول دوران

گره D:

گره F:

گره G: