استاتیک

مقدمه:

     همانگونه که از نام استاتیک پیداست این مبحث از علم مکانیک به تشریح نیروهایی که برای حفظ تعادل سازه ها و ساختارهای مهندسی به کار می روند، می پردازد.

     هنگام بررسی تعادل یک سیستم باید به این اصل توجه داشته باشیم که برایند همه ی نیروهای وارد بر آن سیستم و همچنین اثرات آنها باید برابر صفر باشد. همچنین قبل از هر کاری اقدام به رسم دیاگرام آزاد سیستم مربوطه کرده و سپس شروع به حل مساله کنیم.

     بنابراین برای حفظ تعادل هر سازه و ساختار مهندسی باید دو معادله ی زیر برقرار باشند:

توجه کنید که برای لنگر نقطه ی مرجع A به دلخواه انتخاب می شود و بنابر شرایط مساله که بعدا به آنها می پردازیم نقطه ی مناسبی را در نظر می گیریم (یا محوری دلخواه) به طوری که:

1. حجم محاسبات کمتر گردد.
2. تعداد بیشتری از مجهولاتی که باید به دست بیاوریم، حذف کرده باشیم.

     همه ی اجسام ماهیت سه بعدی دارند، اما با این وجود بسیاری از مسایل را در دو بعد در نظر می گیریم به شرط اینکه تمامی عوامل موثر بر یک جسم در یک صفحه ی مشخص قرار بگیرند.

     همانگونه که گفته شد نیرو ماهیت برداری دارد و از خواص بردارها پیروی می کند. بنابراین داشتن تجسمی کامل از جسم و نیروهای وارد بر آن بخش مهمی از حل یک مساله است. برای اینکه تجسمی کامل از جسم و عوامل موثر بر آن داشته باشیم، ابتدا باید شرایط تکیه گاهی را بررسی کنیم. بعد از بررسی این شرایط باید توجه کنیم که از دیاگرام آزاد کدام قسمت از جسم می توانیم برای حل مساله بهره ی بیشتری ببریم. یا اینکه بعضی از مسایل ایجاب می کنند که حتما برای یک سیستم یکپارچه چند دیاگرام آزاد مختلف برای چند قسمت از این سیستم رسم کنیم.

     به طور کلی اتصالات یک سیستم جایگزین یک قید هستند. بنابراین ممکن است که اصلا چنین اتصالی به لحاظ هندسی وجود خارجی نداشته باشد اما با تقریب خوبی می توانیم این رفتار اتصال را جایگزین یک سیستم قیدی که از جابه جایی سازه، چه به صورت انتقالی و چه به صورت دورانی جلوگیری می کند، بنماییم.

انواع اتصالات دو بعدی:

1) تکیه گاه مفصلی: که سیستم جایگزین قید انتقالی است. برای راحتی کار بعد از انتخاب محورهای مختصات این تکیه گاه را شامل دو نیروی مجهول در راستای محورهای مختصات در نظر می گیریم. باید توجه کرد که این شرط حتما نباید رعایت گردد بلکه اگر دو نیروی با راستای متفاوت اما مشخص نیز در نظر بگیریم به همین نتیجه خواهیم رسید (تجزیه ی نیروها). تکیه گاه مفصلی را با علامت

نشان می دهند.

2) اتصال مفصلی: این اتصال جایگزین سیستم قید انتقالی بین دو قسمت از سازه است. یعنی این اتصال و اتصال قبلی فاقد قید دورانی هستند. بنابراین ممکن است بر اثر بارگذاری خارجی بر سازه شیب دو طرف این اتصالات تغییر کند اما هرگز نمی توانیم حرکتی کلی برای تکیه گاه مفصلی و حرکت نسبی برای اتصال مفصلی داشته باشیم. اتصال مفصلی را در هنگام رسم دیاگرام آزاد با زوج قرینه،نیروهای داخلی عمود بر هم در نظر می گیرند. اتصال مفصلی را با نماد  نشان می دهند.

3) تکیه گاه غلتکی: این تکیه گاه جایگزین سیستم قید حرکتی (انتقالی) در یک جهت است. بسته به شرایط تکیه گاه ممکن است قید حرکت قائم و یا افقی نسبت به سطح داشته باشد. بدیهی است که اتصال داخلی غلتکی نیز مانند همین سیستم عمل می کند.در هنگام رسم دیاگرام آزاد بنا به شرایط قید که در صورت مساله قید می گردد نیرویی تک مولفه ای به جای قید می نشیند. تکیه گاه غلتکی را با نمادهای زیر نشان می دهند:

4) اتصال لینک: که ساده ترین اتصالات می باشد. در این اتصال نیز تنها یک نیرو در راستای عضو متصل شده داریم. بیشترین کاربرد اتصال لینک در بررسی و تحلیل خرپاها است. اگر سیستم فرضی زیر با اتصال AB به نقطه ی A لینک شده باشد برای رسم دیاگرام آزاد آن به طریق زیر عمل می کنیم:

5) سطوح صیقلی و صاف) نیروی تماسی به صورت نیروی فشاری بوده و در راستای عمود بر سطوح تماس می باشد:

6) سطوح زبر و ناصاف: از دوران دبیرستان و مبحث اصطکاک می توانیم شرایط این اتصال را حدس بزنیم. سطوح زبر قادر به تحمل یک مولفه ی نیروی مماسی(نیروی اصطکاک)، علاوه بر مولفه ی عمودی ناشی از نیروی  برایند مماسی می باشند.

7) کابل: مانند اتصال لینک می باشد با این تفاوت که عکس العمل کابل تنها کششی است اما اتصال لینک هم اتصال کششی ایجاد می کند و هم فشاری.

8) اتصال گیردار: این اتصال شامل قیود انتقالی و دورانی است.به نحوه ی نشان دادن این اتصال توجه کنید:

9) اتصال گیردار غلتکی: این اتصال بر گرفته از اتصال گیردار است با این تفاوت که یکی از قیود انتقالی آن حذف شده است. در حین مساله به این نکته اشاره می شود که کدام یک از قیود حرکتی حذف شده است. در این شکل فرض می کنیم قید حرکت افقی داریم:

رسم دیاگرام آزاد در دو بعد:

هنگام رسم دیاگرام آزاد باید:

1. کلیه ی نیروهای خارجی باید منظور شوند.
2. عکس العملهای تکیه گاهی ناشی از قیود به هیچوجه نباید فراموش شوند.
3. اثرات اجسام و قسمتهای متصل به جسم مورد نظر نیز در صورت لزوم در نظر گرفته شود.

     اما در مورد اینکه نیروهای تکیه گاهی را در چه جهتی انتخاب کنیم، این جهت کاملا دلخواه تعیین می شود. اما بعد از حل مساله و به دست آوردن نیروهای تکیه گاهی اگر جواب حاصل شده منفی باشد بدین معنی است که جهت واقعی اثر نیرو بر عکس جهت انتخاب شده ی اولیه است.

     باید توجه کرد که کلیه ی اثرات اجسام متصل شده در یک لنگر و یک نیرو با امتداد و اندازه ی نامشخص یا یک لنگر و دو نیروی مجهول با امتداد مشخص خلاصه می شوند. پس از انتخاب جهت اولیه ی نیروها، برای رسم دیاگرام آزاد جسم متصل شده، حتما باید جهت مخالف این ها را در نظر بگیریم تا قانون سوم نیوتن رعایت گردد.

مثال 3-1) دیاگرام آزاد دو قسمت جسم زیر را رسم کنید( شرایط مفصل مشخص نیست).

حل:

مثال 3-2) دیاگرام آزاد دو قسمت جسم زیر را رسم کنید.

حل:

     برای بررسی شرط اثرات متقابل دو قسمت پیوسته در هنگام جدا کردن در رسم دیاگرام آزاد باید در نظر داشته باشیم که به علت پیوستگی جسم، هر نقطه ی آن مانند یک اتصال گیردار نسبی عمل می کند.یعنی هر نقطه ی آن دارای یک قید انتقالی نسبی و یک قید دورانی نسبی است. بنابراین با توجه به مطالب فصل قبل کلیه ی این نیروها و لنگرها را در دو مولفه ی اصلی F و M خلاصه می کنیم.

مثال 3-3) برای سیستم زیر:

الف) ابتدا دیاگرام آزاد کل جسم را رسم کند.

ب  ) سپس دیاگرام آزاد را برای کابل و باقی جسم رسم کنید.

 ج ) و در آخر دیاگرام آزاد را برای قرقره، کابل و باقی جسم به طور جداگانه رسم کنید.

کلیه ی تیرها دارای وزن هستند.

حل:

مثال 3-3) برای سیستم زیر ابتدا دیاگرام آزاد کلی و سپس دیاگرام آزاد هر لینک را به طور جداگانه رسم کنید( کلیه ی اجزاء دارای وزن هستند).

حل:

پایداری:

     همانگونه که گفته شد کلیه ی شرایط لازم و کافی برای پایداری یک سیستم این است که معادله ی 3-1 که همتراز 3 معادله ی اسکالر در دو بعد و 6 معادله ی اسکالر در سه بعد می باشد ارضاء گردد. اما می خواهیم قبل از اینکه کل مساله را حل کنیم و ببینیم آیا به تناقض می رسیم یا نه، پیش بینی کنیم که آیا سازه پایدار است یا نه. سپس ادعای خود را اثبات کنیم. باید توجه کرد که بحث پایداری با یک حالت بارگذاری تایید پذیر نیست.

بلکه پایداری باید برای تمام حالات بارگذاری اثبات شود.اصولا بحث پایداری یا ناپایداری به شرایط تکیه گاهی و هندسی سازه باز می گردد. به زبان ساده تر جسم پایدار به جسمی گفته می شود که تحت اثر هر بارگذاری خارجی تمام معادلات آن ارضاء شود و هیچگونه حرکتی اعم از انتقال یا دوران نداشته باشد.

مثال 3-4) مطلوبست بررسی پایداری سیستم شکل پایین.

حل: همانگونه که گفته شد ابتدا دیاگرام آزاد هر قسمت از جسم را رسم می کنیم:

فرض می کنیم نیروی F به طور قائم بر میان عضو میانی وارد شود (بارگذاری خارجی) برای پایداری قسمت میانی داریم( طول ضلع را L فرض می کنیم):

حال برای قسمت سمت راست معادله ی لنگر حول نقطه ی D را می نویسیم:

بنابراین سازه ناپایدار است. البته می توان گفت چون تعداد مجهولات 8 و تعداد معادلات 9 = 3*3 است و این معادلات مستقل هستند سازه ناپایدار است.

معین بودن استاتیکی:

     هرگاه تعداد مجهولات با تعداد معادلات تعادل برابر بوده سازه از نظر استاتیکی معین و در غیر این صورت نامعین خواهد بود. باید توجه کنیم که جسم مورد نظر را به ساده ترین صورت ممکن تبدیل کنیم. همچنین دیاگرام آزاد را، در صورتی که در جسم اتصال داخلی داشته باشیم، نباید برای همه ی جسم در نظر بگیریم بلکه باید برای هر قسمت دیاگرام آزاد رسم کنیم و سپس در مورد معینی یا نامعینی آن بحث کنیم. توجه کنید که بحث معینی بعد از پایداربودن سازه  به میان می آید در غیر این صورت نمی توانیم در مورد آن نظر دهیم.

مثال 3-5) سازه ی زیر را از نظر پایداری بررسی کنید و در صورت پایداری در مورد معینی آن نیز بحث کنید.

حل: ابتدا دیاگرام آزاد قسمتهای AB و BC را رسم می کنیم.سپس بار خارجی F را مطابق شکل منظور می کنیم:

حال شرایط تعادل را برای قسمت AB می نویسیم:

حال شرایط تعادل را برای قسمت BC می نویسیم:

در مثالهای پیش دیدیم که اگر β=0  آنگاه سازه ناپایدار است که در اینجا هم به تایید می رسد. حال در مورد

 معینی یا نامعینی باید بگوییم چون 6 مجهول و 6 معادله(3*2) داریم بنابراین سازه معین استاتیکی است.

مثال 3-6) معینی یا نامعینی سازه های زیر را بررسی کنید.

حل:

                                                   6 معادله و 6 مجهول                            6 معادله و 7 مجهول

باید توجه کنید که اندازه ی عکس العملهای تکیه گاهی بنابر بار خارجی تغییر می کند.بنابراین شرایط تکیه گاهی در بعضی موارد پایداری را تضمین می کند.از این موارد می توان به هنگامی که سه مولفه ی قیدی در یک نقطه متقارب باشند، یا هنگامی که سه مولفه ی قیدی که در یک امتداد نباشند را نام برد.

رسم دیاگرام آزاد برای اجسام سه بعدی:

     رسم دیاگرام آزاد برای اجسام سه بعدی تعمیمی از رسم دیاگرام آزاد برای اجسام دو بعدی است. با این تفاوت که باید شروط قیود و عکس العملهای تکیه گاهی را به دقت مورد بررسی قرار دهیم.بنابراین بعضی اتصالات در سه بعد را بررسی می کنیم.

1) عضو در تماس با سطح صیقلی: نیرو باید عمود بر سطح بوده و به سمت عضو متوجه باشد.

2) عضو در تماس با سطح زبر: علاوه بر وجود نیروی عمودی، امکان دارد نیروی مماس بر سطح نیز بر جسم اثر کند.

3) اتصال ثابت: دارای هر 6 قید می باشد.

مثال 3-7) پایداری اجسام زیر را بررسی کنید.کلیه ی لینک ها در راستای اضلاع هستند.

الف)

ب)

حل:

الف) با کمی دقت متوجه می شویم که برای نشان دادن ناپایداری سازه کافی است نیرویی انتخاب کنیم که لنگری حول قطر AB ایجاد کند. بنابراین اعمال هر نیرویی که حول محور AB لنگر دارد باعث چرخش جسم به حول این محور می شود.

ب) پر واضح است که سیستم ناپایدار است چون در امتداد قائم هیچ مولفه ی تکیه گاهی نداریم. یعنی هر نیرویی که در امتداد قائم باشد باعث ناپایداری سازه خواهد بود.

مثال 3-8) در شکل زیر لینک 1 در امتداد قطر وجه جانبی، لینک 6 در امتداد قطر بزرگ و باقی لینک ها در امتداد اضلاعند.پایداری سیستم را بررسی کنید.

حل:

      سیستم ناپایدار است.زیرا لینک های 1 و 2 از نقطه ی B، لینک های 3و4و6 از نقطه ی A می گذرند. لینک 5 هم در امتداد ضلع AB می باشد و حول این ضلع لنگری ندارد. بنابراین هر نیرویی که حول AB لنگر ایجاد کند جسم را ناپایدار می سازد.

مثال 3-9) با استدلال کامل در خصوص پایداری یا ناپایداری سازه های زیر بحث کنید.در مورد سازه های ناپایدار، حداقل قیدهای لازم برای رفع ناپایداری را در محل گره های اصلی سازه تعیین کنید.

الف)

ب)

حل:

الف) ابتدا ترسیمه ی آزاد جسم را برای قسمتهای AB و BCD و DE رسم می کنیم:

     قسمت سمت چپ به علت داشتن 4 مولفه ی تکیه گاهی که در یک امتداد نیستند پایدار می باشد.قسمتهای بعدی هم به دلیل مشابه پایدار می باشند. بنابراین کل سازه در حالت پایداری است.

ب) سازه ناپایدار است زیرا:

فرض کنیم بار F مطابق شکل بالا اعمال شود. آنگاه:                                                   

و بنابر این به راحتی و وضوح می توان اعلام کرد که سازه ناپایدار می باشد.برای پایدار کردن سازه کافی است غلتک با قید دوران در نظر گرفته شود.