تحلیل دینامیکی با استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار

فصل اول

تحلیل دینامیکی با استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار

بخش اول:

تحلیل دینامیکی

مقدمه

توسعه و رشد سریع سرعت کامپیوترها و روشهای اجزای محدود در طی سی سال گذشته محدوده و پیچیدگی مسائل سازه ای قابل حل را افزایش داده است. روش اجزای محدود روش تحلیلی را فراهم کرده است که امکان تحلیل هندسه، شرایط مرزی و بارگذاری دلخواه را به وجود آورده است و قابل اعمال بر سازه‌های یک بعدی، دو بعدی و سه بعدی می‌باشد. در کاربرد این روش برای دینامیک سازه‌ها ویژگی غالب روش اجزای محدود آن است که سیستم پیوسته واقعی را که از نظر تئوری بینهایت درجة آزادی دارد، با یک سیستم تقریبی چند درجه آزادی جایگزین نماید. هنگامی که با سازه‌های مهندسی کار می‌کنیم غیر معمول نمی‌باشد که تعداد درجات آزادی که در آنالیز باقی می‌مانند بسیار بزرگ باشد. بنابراین تأکید بسیاری در دینامیک سازه برای توسعة روشهای کارآمدی صورت می‌گیرد که بتوان پاسخ سیستم‌های بزرگ را تحت انواع گوناگون بارگذاری بدست آورد.

هر چند اساس روشهای معمول جبر ماتریس تحت تاثیر درجات آزادی قرار نمی‌گیرند، تلاش محاسباتی و قیمت، به سرعت با افزایش تعداد درجات آزادی افزایش می‌یابند. بنابراین بسیار مهم است که قیمت محاسبات در حد معقول نگهداشته شوند تا امکان تحلیل مجدد سازه بوجود آید. هزینه پایین محاسبات کامپیوتری برای یک تحلیل امکان اتخاذ یک سری تصمیمات اساسی در انتخاب و تغییر مدل و بارگذاری را برای مطالعة حساسیت نتایج، بهبود طراحی اولیه و رهنمون شدن به سمت قابلیت اعتماد برآوردها فراهم می‌آورد. بنابراین، بهینه سازی در روشهای عددی و متدهای حل که باعث کاهش زمان انجام محاسبات برای مسائل بزرگ گردند بسیار مفید خواهند بود.

شکل 1-1- ایده آل سازی سازه با جرم گسترده

استفاده از بردارهای ویژه، برای کاهش اندازة سیستمهای سازه‌ای یا ارائه رفتار سازه به وسیلة تعداد کمی از مختصات های عمومی (تعمیم یافته) – در فرمول بندی سنتی – احتیاج به حل بسیار گرانقیمت مقدار ویژه دارد.

یک روش جدید از تحلیل دینامیکی که نیاز به برآورد دقیق فرکانس ارتعاش آزاد و اشکال مدی ندارد توسط ویلسون Wilson یوان (Yuan) و دیکنز (Dickens) (1.17) ارائه شده است.

روش کاهش، بردارهای ریتز وابسته به بار WYD Ritz vectors) که D, Y, W (حروف اختصاری نویسندگان)( بر مبنای بر هم نهی مستقیم بردارهای ریتز حاصل از توزیع مکانی و  بارهای مشخص دینامیکی می‌باشد. این بردارها در کسری از زمان لازم برای محاسبة اشکال دقیق مدی، توسط یک الگوریتم بازگشتی ساده بدست می‌آیند. ارزیابی‌های اولیه و کاربرد الگوریتم در تحلیل تاریخچه زمانی زلزله نشان داده است که استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار منجر به نتایج قابل مقایسه یا حتی بهتری نسبت به حل دقیق مقدار ویژه شده است.

در اینجا هدف ما تحقیق در جنبه‌های عملی کاربرد کامپیوتری بردارهای ریتز وابسته به بار، خصوصیات همگرایی و بسط آن به حالتهای عمومی تر بارگذاری می‌باشد. به علاوه، استراتژی‌های توسعه برای تحلیل دینامیکی سیستمهای غیر خطی ارائه خواهد شد. نیز راهنمایی‌هایی برای توسعه الگوریتمهایی برای ایجاد بردارهای ریتز تهیه شده است.

1-1- اصول اولیه تحلیل دینامیکی

تمام سازه های واقعی هنگام بارگذاری یا اعمال تغییرمکان به صورت دینامیکی رفتار می کنند. نیروهای اینرسی اضافی، با استفاده از قانون دوم نیوتن، برابر نیرو در شتاب می‌باشند. اگر نیروها و یا تغییر مکانها بسیار آرام اعمال شوند نیروهای اینرسی قابل صرفنظر کردن می باشند و یک تحلیل استاتیکی قابل انجام است. بنابراین می توان گفت، تحلیل دینامیکی بسط ساده ای از تحلیل استاتیکی می‌باشد.

بعلاوه تمام سازه های حقیقی بالقوه دارای درجات آزادی نامحدودی می باشند. بنابراین بحرانی ترین قسمت در تحلیل سازه ایجاد مدلی با تعداد درجات آزادی محدود می باشد که دارای تعدادی اعضای تقریباً بدون جرم و تعدادی گره باشد، که بتواند رفتار سازه را به طور مناسبی تخمین بزند. جرم سازه را می توان درگره ها متمرکز نمود. نیز برای یک سیستم الاستیک خطی خصوصیات سختی اعضاء را می توان باصحت بسیار خوبی تخمین زد- باتوجه به داده های تجربی- هرچند تخمین بارگذاری  دینامیکی، اتلاف انرژی و شرایط مرزی می تواند بسیار مشکل باشد.

با در نظر گیری موارد گفته شده برای کاهش خطاهای موجود لازم است تحلیل های دینامیکی متعدد با استفاده از مدلهای مختلف دینامیکی، بارگذاری و شرایط مرزی به کار گرفته شود و انجام حتی 20 آنالیز کامپیوتری برای طراحی یک سازه جدید و یا برآورد یک سازه موجود ممکن است لازم شود.

 با توجه به تعداد زیادی آنالیزهای کامپیوتری که برای یک تحلیل دینامیکی نمونه لازم است  باید در کامپیوترها روشهای عددی مناسبی برای محاسبات به کار رود.

2-1- تعادل دینامیکی

تعادل نیرویی برای یک سیستم چند درجه آزادی با جرم متمرکز شده، به صورت تابع زمان را می توان این گونه نوشت:

F(t)I + F(t)D + F(t)S = F(t)                                                                                  (1-2-1)

F(t)I : بردار نیروهای اینرسی عمل کننده بروی جرم

F(t)D : بردار نیروی میرایی لزج، یا اتلاف انرژی می باشد.

F(t)S : بردار نیروهای داخلی تحمل شده توسط سازه

F(t) : بردار بارهای اعمالی

معادله (1.2.1) برمبنای قوانین فیزیکی قرار دارد و برای هر دو دسته سیستمهای خطی و غیرخطی معتبر می باشد.

برای بسیاری از سیستمهای سازه ای تخمین رفتار خطی برای سازه انجام می گردد تا معادله فیزیکی
(1.2.1) تبدیل به گروهی از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی گردد.

                                          (2-2-1)

که M ماتریس جرم، C ماتریس میرایی، K ماتریس سختی می باشند. بردارهای وابسته به زمان, ,, مقادیر مطلق تغییر مکان، سرعت و شتاب می باشند.

برای بارگذاری زلزله F(t) نیروی خارجی برابر صفر می باشد. حرکت اساسی لرزه‌ای سه مؤلفه u(t)ig می باشند که در نقطه ای زیر پی ساختمان در نظر گرفته می شوند. بنابراین می توانیم معادله (1.2.2) را با توجه به, ,,که کمیاتی نسبی (نسبت به مؤلفه‌های زلزله) می باشند بنویسیم.

بنابراین مقادیر مطلق تغییر مکان، سرعت و شتاب را می توان از معادله‌ (1.2.2) حذف نمود.

u(t)a = u(t) + {rx} u(t)xg + {ry} u(t)yg + {rz} u(t)zg

(t)a = (t) + {rx}  (t)xg + {ry} (t)yg + {rz} (t)zg                                       (3-2-1)

ü(t)a= ü(t) + {rx} ü(t)xg + {ry} ü(t)yg + {rz} ü(t)zg

که {ri} برداری است که در درجات آزادی جهتی 1 می باشد و بقیه عناصر آن صفرند.

با قرار دادن این معادله (3-2-1) در (2-2-1) داریم:

Mü(t) + C(t) + Ku(t) = -Mx ü(t)xg - My ü(t)yg – Mz ü(t)zg                              (4-2-1)

که

Mi = M{ri}

روشهای کلاسیک گوناگونی برای حل معادله (1-4) وجود دارد که هرکدام دارای محاسن و معایب خاص خود می باشند که آنها را به صورت خلاصه بیان می کنیم.

3-1- روش حل گام به گام

عمومی ترین روش تحلیل دینامیکی روش افزایشی است که معادلات تعادل در زمانهای Dt, 2Dt, 3Dt , …  حل می شوند. که تعداد زیادی از اینگونه روشهای افزاینده برای حل وجود دارد. در حالت عمومی این روشها شامل حل گروه کاملی از معادلات تعادل در هر افزایش زمان می باشند. در صورت انجام تحلیلی غیرخطی ممکن است لازم باشد تا ماتریس سختی سازه را شکل دهی مجدد نماییم.

نیز امکان دارد در هر گام زمانی برای رسیدن به تعادل نیاز به تکرار داشته باشیم. از دیدگاه محاسباتی ممکن است حل یک سیستم با چند صد درجة آزادی زمان بسیاری طلب نماید.

بعلاوه ممکن است نیاز داشته باشیم تا میرایی عددی یا مجازی را به دستة زیادی از این راه حلهای افزایشی برای بدست آوردن راه حلی پایدار اضافه کنیم. برای تعدادی از سازه های غیرخطی که تحت تأثیر حرکت زمین قرار گرفته اند، روشهای حل عددی افزایشی لازم می باشد.

برای سیستمهای سازه ای بسیار بزرگ ترکیبی از برهم نهی مودی و روشهای افزایشی می توانند بسیار مؤثر باشند. (برای سیستمهای با تعداد کمی المانهای غیرخطی).

4-1- روش برهم نهی مودی

معمول ترین و مؤثرترین رهیافت برای آنالیز لرزه ای سازه های خطی روش برهم‌نهی‌مودی می باشد. پس از آنکه گروهی از بردارهای متعامد برآورد شدند این روش دستة بزرگ معادلات تعادل را به تعداد نسبتاً کمتری از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم تبدیل می کند که این باعث کاهش قابل توجهی در زمان محاسبات می‌شود.

نشان داده شده است که حرکات لرزه ای زمین تنها فرکانسهای پایین سازه را تحریک می نماید.به صورت معمول حرکات زلزله در فواصل زمانی 200 نقطه در ثانیه ثبت می گردند. بنا بر این داده های بارگذاری پایه شامل اطلاعات بالای 50 دور در ثانیه نمی باشند.با توجه به این مطلب صرف نظر از مودها و فرکانسهای بالاتر معمولاَ باعث ایجاد خطا نمی شوند.

5-1- تحلیل طیف پاسخ

روش تحلیل برهم نهی مودی اولیه ، که تنها به سازه های الاستیک خطی محدود می باشد، پاسخ کامل تاریخچة زمانی تغییر شکلهای گره ها و نیروهای اعضا را به علت حرکت زمین ویژه ای بدست می دهد. استفاده از این روش دو عیب دارد:

این روش حجم خروجی بالایی ایجاد می کند که این امر سبب زیاد شدن عملیات طراحی به خصوص هنگامی که بخواهیم نتایج را برای کنترل طراحی به کار بریم می‌گردد.

تحلیل باید برای چندین زلزله دیگر هم تکرار شود تا اطمینان حاصل گرد که تمام مدها تحریک شده اند.

مزایای محاسباتی قابل توجهی در استفاده از تحلیل طیف پاسخ برای پیش بینی تغییر مکانها و نیروهای اعضاء در سیستمهای سازه ای وجود دارد. این روش فقط شامل محاسبة حداکثر مقدار تغییر مکانها و نیروهای اعضاء با استفاده از طیفی هموار شده است که میانگین چندین زلزله است، می باشد. سپس لازم است برای بدست آوردن متحمل‌ترین مقدار اوج تغییر مکان یا نیرو از روشهای CQC ، SRSS و یا CQC3 استفاده  گردد.

6-1- حل در حوزة فرکانس

رهیافت پایة استفاده شده در حل معادلات تعادل دینامیکی در دامنه فرکانس بسط نیروهای خارجیF(t) در قالب عبارات سری های فوریه یا انتگرالهای فوریه می باشد.

حل شامل عبارات مختلط است که محدوده زمانی¥+ تا ¥- را پوشش می دهد. بنابراین روشی بسیار کارا برای گونه‌های بارهای تکرارای مانند: ارتعاشات مکانیکی، آکوستیک، امواج دریا و باد می باشد. هرچند استفاده از حل در حوزة فرکانس برای تحلیل سازه‌هایی که تحت تأثیر زلزله قرار می گیرند دارای معایب چندی نیز می باشد.

فهم ریاضیات به کار رفته برای دسته زیادی از مهندسان سازه بسیار مشکل می باشد. بنابراین مطمئن شدن از صحت حل بسیار مشکل است.

برای نوع بارگذاری لرزه ای  این روش از نظر عددی کارا نمی باشد. انتقال نتایج از حوزه فرکانس به حوزة زمان حتی با استفاده از روشهای FFT مقدار محاسبات عددی قابل توجهی را لازم دارد.

روش محدود به سیستمهای ساختمانی خطی می باشد.

روش برای حل غیرخطی تقریبی اندر کنش خاک / سازه و پاسخ در ساختگاه بدون توجیه نظری کافی استفاده شده است. به طور مثال، این روش به صورت، رفتاری تکراری برای ساختن معادلات خطی به کار می رود، جملات میرایی خطی بعد از هر تکرار تغییر می کنند تا استهلاک انرژی در خاک را تخمین بزنند. بنابراین تعادل دینامیکی در خاک ارضا نمی شود.

7-1- حل معادلات خطی

حل گام به گام معادلات دینامیکی، حل در حوزة فرکانس و برآورد بردارهای ویژه و بردارهای ریتز تماماً احتیاج به حل معادلات خطی دارند که به صورت زیر بیان می‌شود.

AX=B                                                                                                                (1-7-1)

که در اینجا A یک ماتریس N×N متقارن است که تعداد زیادی جمله صفر دارد. ماتریسهای B و X که
"N × M"هستند بیانگر این مطلب است که بیشتر از یک حالت بارگذاری در یک زمان قابل حل می باشد. که روشهای متعددی برای کاهش حافظه مصرفی توسط A وحل دستگاه همزمان وجود دارد. (روش حذفی گوس,حل اسکای لاین  و روشهای بسیار متنوع دیگر که برای معکوس سازی ماتریسها به کار می روند از جمله روشهای:افراز کردن,سه قطری کردن,کاهش ماتریس,روش جوردن و...)

بخش دوم:

محاسبة بردارهای متعامد بر جرم و سختی

مقدمه

دلیل اصلی محاسبة اشکال مدی (یا بردارها و مقادیر ویژه) آن است که آنها برای غیرهمزمان سازی معادلات تعادل دینامیکی به کار می روند (در تحلیل برهم نهی مدی و یا تحلیل طیف پاسخ). هدف اصلی تحلیل دینامیکی تخمین صحیح تغییر مکانها و نیروهای اعضاء می باشد. در حالت کلی رابطة مستقیمی میان صحت بردارهای ویژه و مقادیر ویژه و صحت تغییر مکانهای گره های سازه و نیز نیروهای اعضاء وجود ندارد.

در اوایل پیدایش مهندسی زلزله روش ریلی ـ ریتز برای تحلیل دینامیکی تقریبی به طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می گرفت.

با توسعة کامپیوترهای با سرعت بالا، استفاده از بردارهای ویژه دقیق جایگزین استفاده از بردارهای ریتز به عنوان پایه ای برای تحلیل لرزه ای شد. در اینجا به روش (LDR) یا بردارهای ریتز وابسته به بار خواهیم پرداخت و نشان داده می‌شود که روش جدید و تصحیح شده ریتز پاسخهایی با صحت بیشتر و انجام اعمال کمتر نسبت به استفاده از بردارهای ویژه دقیق ارائه می کند.

در آغاز نگاهی اجمالی به روشهای برآورد مساله مقدار ویژه می اندازیم.

1-2- روش جستجوی د ترمینانی (Determinant search method)

معادلة تعادل که بر ارتعاش آزاد یک مد نمونه نامیرا حاکم است به صورت زیر نوشته می‌شود :

      یا                                                                 (1-1-2)

این معادله را می توان با فرض i  و فاکتورگیری به صورت زیر مستقیماً حل کرد.

                                                                                                (2-1-2)

می توان نشان داد

                                                                                      (3-1-2)

می توان با تکرار این عمل نموداری از دترمینان در مقابلl رسم نمود. (شکل (1-1-2) این روش کلاسیک برای بدست آوردن فرکانسهای طبیعی سیستم روش جستجوی دترمینانی نام دارد.

باید به این نکته توجه نمود که برای ماتریسهای، با عرض باند کم تلاش عددی لازم بسیار ناچیز می باشد، برای این دسته از مسائل استفاده از جستجوی دترمینانی به همراه تکرار معکوس روشی بسیار کارامد می با شد که می توان توسط آن فرکانسهای طبیعی سیستم و اشکال مدی را برای سیستمهای سازه ای کوچک بدست آورد هرچند به دلیل افزایش سرعت کامپیوترها سیستمهای کوچک را با هر روش می توان به آسانی حل نمود بنابراین این روش در برنامه های مدرن کامپیوتری به کار نمی رود.

شکل1-1-2

2-2- کنترل ترتیب استورم (Sturm sequence check)

شکل (1-1-2) خاصیت بسیار مهمی از دنباله عبارات قطری ماتریس فاکتورگیری شده را نشان می دهد. متوجه می شویم برای مقدار مشخصی از i  ، می توان تعداد عبارت منفی در ماتریس قطری را شمرد که برابر تعداد فرکانسهای کمتر از آن مقدار می باشد. بنابراین، این روش می تواند برای کنترل روشی که نتوانسته تمام فرکانسهای طبیعی کمتر از مقدار مشخصی را حساب کند به کار رود.

نیز کاربرد مهم دیگر این روش برآورد تعداد فرکانسهای موجود در بازة خاص فرکانسی می باشد. که این مطلب در مسائل ارتعاش ماشین کارآمد می باشد.

تکرار معکوس

معادله (1-1-2) را می توان به فرمی مناسب برای روش حل تکراری نوشت  داریم:

      یا                                                    (1-2-2)

گامهای محاسباتی برای محاسبة یک بردار ویژه یا مقدار ویژه به صورت زیر خلاصه می‌شود.

ماتریس سختی را مثلثی می کنیم به فرم  LDLT. (در فاز حل بار استاتیکی)

برای اولین سعی فرض کنیم R(1) برداری حاوی اعداد تصادفی باشد و برای بردار اولیه  حل کنیم.

برای i=1,2,… سعی می کنیم.

(a  بردار را نرمال می کنیم به گونه ای که  

(b مقدار ویژه را تخمین می زنیم که   

(c کنترل  برای همگرایی اگر همگرا شد تمام

(d i=i+1  و محاسبه   

(e حل برای بردار جدید  

(f گام 3 را تکرار کنید.

می توان دید که این روش به سمت کوچکترین مقدار منحصربه فرد مقدار ویژه همگرا می باشد.

3-2- متعامدسازی گرام ـ اشمیت

بردارهای ویژه دیگر در روش تکرار معکوس قابل محاسبه اند به شرط آنکه بعد از هر چرخة تکرار، بردار تکرار نسبت به تمامی بردارهای محاسبه شده قبل متعامد شود. برای نشان دادن این روش فرض کنید بردار مفروض `Vموجود می باشد که می خواهیم نسبت به بردار محاسبه شده قبلی Vn متعامد شود. یا بردار جدید می تواند از رابطة زیر حساب شود.

V=`V-aVn                                                                                                        (1-3-2)

اگر این معادله را در  پیش ضرب کنیم بدست می آوریم .

                                                                      (2-3-2)

بنابراین شرایط تعامد در صورت برآورده شدن شرط زیر ارضا می‌شود.

                                                                                       (3-3-2)

اگر این متعامد سازی بعد از گام 3.e در تکرار معکوس قرار گیرد، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه اضافی قابل محاسبه اند.

4-2- تکرار زیرفضای بلوکی ((Block subspace iteration

روش تکرار معکوس با یک بردار در صورت وجود مقادیر ویژه و بردارهای ویژه مشابه ممکن است همگرا نگردد. این حالت برای بسیار از سازه های سه بعدی واقعی با جرم و سختی مشابه در هر دو جهت اصلی ممکن است اتفاق بیافتد.

این مشکل را می توان با تکرار بوسیله گروهی (بلوکی) از بردارهای متعامد برطرف ساخت تجربه نشان داده است که اندازه بلوک (b) باید برابر جذر «پهنای متوسط باند ماتریس سختی» قرار داده شود ولی کمتر از 6 نگردد. این الگوریتم (روش) نسبتاً کند می‌باشد هرچند بسیار دقیق می‌باشد.

در حالت کلی بعد از آنکه برداری به  بلوک اضافه شد احتیاج به 5 تا 10 کاهش به جلو و جاگذاری به عقب می باشد تا این روش به بردار ویژه دقیق همگرا شود.

5-2- حل سیستمهای منفرد

برای انواع کمی از سازه ها، مانند شاتل ها، امکان ندارد که روش تکرار معکوس یا زیرفضا را به طور مستقیم برای بدست آوردن فرکانسهای طبیعی و اشکال مدی به کار برد. دلیل این امر وجود حداقل شش مد صلب با فرکانس صفر می‌باشد و ماتریس سختی منفرد است و قابل مثلثی کردن نیست. برای حل این مشکل تنها لازم است که جابجایی زیر در مقادیر ویژه انجام شود، یا تغییر متغیر بدهیم.

ln=`ln-r                                                                                                            (1-5-2)

بنابراین مسئله مقادیر ویژه تکراری را می توانیم به صورت زیر بنویسیم.

LDLT `Vn(i) = R(i)  یا  `K`Vn(i) = `ln(i-1) MVn(i-1)                                                               (2-5-2)

(3-5-2) ماتریس سختی جابجا شده به صورت `K=K+rM می‌باشد که دیگر منفرد نمی‌باشد.

بردارهای  ویژه با  انتقال دلخواه r  دستخوش تغییر نمی شوند  بنابراین از رابطة (1-5-2)بردارهای درستی حاصل می گردد.

در اینجا باید ذکر نمود برای حل مسائل مقدار ویژه از روشهای زیر نیز استفاده می گردد:  تکرار پیشرو، تکرار خارج قسمت رایلی و روش تکراری Lanczos ، روشهای تکراری چندجمله ای و تکنیکهای دنبالة Sturm، روشهای تبدیل (ژاکوبی)، ژاکوبی تعمیم یافته و تکرار معکوس و(Housholders-QR) .

6-2- ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار

تلاش عددی لازم برای محاسبة حل ویژه دقیق برای سیستم سازه اگر تعداد مدهای زیادی مورد احتیاج باشد، بسیار زیاد می‌باشد، هرچند مهندسان زیادی اعتقاد دارند اگر این تلاش منجربه به حل دقیقی گردد قابل توجیه می‌باشد.

در اینجا نشان داده می‌شود که این فرض برای محاسبة پاسخ دینامیکی تمامی سیتسمهای سازه ای ممکن است درست نباشد.

می توانیم اشکال مدی ارتعاش آزاد را برای کاهش اندازة مسائل خطی و غیرخطی استفاده کنیم. اما به دلایل زیر احتمالاً این کار بهترین رهیافت نمی‌باشد.

1. برای سیستمهای بزرگ سازه ای، حل مسئله مقدار ویژه برای بدست آوردن مدها و فرکانسهای ارتعاش آزاد تلاش عددی قابل ملاحظه ای لازم دارد.

2. در محاسبة شکلهای مدی ارتعاش آزاد اصلاً هیچ توجهی به توزیع مکانی، بار نمی‌گردد. بنابراین تعداد زیادی از اشکال مدی محاسبه شده نسبت به بارگذاری متعامد هستند و در پاسخ مشارکت نمی کنند.

و …

اما امکان دارد که دسته ای از بردارهای ریتز متعامد نسبت به جرم و سختی، با حداقل تلاش عددی، بدست آوریم که با هر گونه توزیع بار به سمت جواب درست همگرا گردند.

می‌توان نشان داد که یک تحلیل دینامیکی که برمبنای دستة منحصربه فردی از بردارهای ریتز وابسته به بار قرار دارد به جواب درست تری نسبت به استفاده از همان تعداد اشکال مدی دقیق می انجامد. در فصل بعد به این مطلب پرداخته می شود.

بخش سوم:

کلیات روش LDR (Load Dependent Ritz vectors)

1-3- روش جداسازی دو مرحله ای در تحلیل سازه‌ها

گام اول در تحلیل سازه‌ها با استفاده از اجزای محدود جداسازی سازه به منظور بدست آوردن مشخصات سختی، جرم و میرایی سازه برای استفاده در معادلات تعادل دینامیکی (حرکت) می باشد. سپس جداسازی جدیدی با استفاده از ترکیب توابع شکل عمومی و مستقل خطی، که از مدلسازی قبلی بدست آمده اند، برای مشخص کردن پاسخ سازه، قابل انجام می باشد.

روش کاهش دوم برای تحلیل استاتیکی خطی جالب توجه نمی باشد زیرا برای این تحلیل تنها یک گام لازم می باشد. هر چند این کاهش دوم برای تحلیل غیر خطی استاتیکی و نیز تحلیل خطی و غیر خطی دینامیکی که چندین گام باید انجام شود و در هر گام سیستمی از معادلات خطی و غیر خطی حل شود، مناسب می باشد.

1-1-3- جداسازی مسائل خطی دینامیکی به وسیلة برهم نهی مستقیم برداری

مطالعة مشخصات تغییر شکل بر اثر بارهای استاتیکی و تاریخچة زمانی پاسخ تعدادی سازة پیچیده آشکار می سازد تعداد زیادی از درجات آزادی باقی مانده در تحلیل ، غالباً توسط توپولوژی ساختمان دیکته می شود تا توسط پیچیدگی رفتار مورد انتظار. معمولاً هندسة سازه اجازة جداسازی به تعداد کمی المان نمی دهد اما می توان رفتار را به وسیلة تعداد کمی درجات آزادی مشخص نمود . این مطلب به طور کلی در مورد مسائل دینامیک سازه مانند تحلیل زلزله – که مطالعات آنالیز مودال بر روی محتوای فرکانسی و توزیع مکانی تحریک نشان داده اند، پاسخ، با تعداد نسبتا کمی از مودهای فرکانس پایین کنترل می شود - درست می باشد. در مورد تحلیل تحریکات ارتعاشی، فقط تعداد کمی از فرکانسهای متوسط ممکن است تحریک شوند. هر چند در مورد سیستمهای تحریک شدة چندگانه (Multi-Shock excited systems) اندر کنش مودهای مربوط به فرکانس‌های متوسط و بالا ممکن در طی بازة زمانی مورد بررسی اهمیت خود را حفظ نمایند. تغییر مبدأ از سیستم مختصات اصلی به سیستمهای مختصات مودال تعمیم یافته که در فرمول بندی سنتی حل مسائل بزرگ مقدار ویژه مورد نیاز است، هنگامی جالب توجه است که تعداد مودهای مشارکت کننده نسبت به درجات آزادی اصلی کم باشند.

        در حالت کلی روش تحلیل اجزای محدود، کمترین فرکانسهای دقیق را بسیار خوب تخمین می زند در حالیکه دقت کم یا عدم دقت و صحت برای تقریب شکل مودهای بالاتر و فرکانس‌های بالاتر مورد انتظار می باشد. این به علت این حقیقت می باشد که مودهای بالاتر طبیعت بسیار مغتششی دارند که ارائه آنها توسط اندازة مش بندی عملی انجام شده برای محاسبات مهندسی مشکل می باشد. بنابراین توجیه کمی برای بکارگیری پاسخ دینامیکی اشکال مودهای با فرکانس بالا، در تحلیل وجود دارد. به طور ایده‌آل مش‌های اجزای محدود باید به گونه‌ای انتخاب شود که اشکال مودی مربوط به فرکانسهای مهم ارتعاش به بهترین صورت تخمین زده شوند و سپس راه حل را می توان با در نظر گرفتن پاسخ این مودها بدست آورد. این مطلب با تحلیل برهم نهی برداری، با توجه به مودهای مهم سیستم اجزای محدود، قابل انجام می‌باشد.

برآورد فرکانسهای طبیعی اشکال مودی برای سیستم‌های سازه ای بزرگ احتیاج به مقدار قابل توجهی عملیات عددی دارد. هر چند همانطور که توسط ویلسون و همکاران (29) اشاره شده است، ممکن است اهمیت مستقیم این اطلاعات در مهندسی ارزش محدودی داشته باشد. مقادیر فرکانسی بیانگر وضعیتهای محتمل تشدید و اشکال مدی وابسته به فرکانسهای کم نشانگر این مطلب می باشند که کدام قسمتهای سازه انعطاف پذیرترین قسمتها می باشند. در اکثر موارد مقادیر تقریبی هم می توانند این اطلاعات را فراهم کند. در انجام اغلب تحلیلها، تنها دلیل برآورد بردارهای ویژة کامل و دقیق به علت استفادة جایگزین آنها برای کاهش اندازة سیستم در یک تحلیل بر هم نهی می باشد.

2-3- استفاده از بردارهای ریتز در دینامیک سازه‌ها

1-2-3- روش ریلی برای سیستمهای تک درجة‌ آزادی

ایدة اساسی در روش ریلی که برای تقریب فرکانس ارتعاش یک سیستم تک درجه آزادی استفاده می شود اصل ثبات انرژی می باشد. انرژی در یک سیستم با ارتعاش آزاد اگر نیروی میرایی برای جذب آن وجود نداشته باشد باید ثابت بماند. بنابراین ماکزیمم انرژی کرنشی در سازة الاستیک باید برابر ماکزیمم انرژی جنبشی جرم باشد. این روش قابل اعمال به هر سیستم چند درجه آزادی که قابل بیان به صورت سیستم تک درجه آزادی توسط استفاده از اشکال تغییر مکانی فرضی ریتز {X} باشد، می باشد.

                                                                                                        (1-2-3)

که در اینجا

K*= سختی تعمیم یافته:

M* = جرم تعمیم یافته:

= فرکانس تقریبی ارتعاش

می باشند.

در صورت برابر بودن {X} با  فرکانس حاصل دقیقا برابر فرکانس ناشی از حل دقیق می باشد.

2-2-3- تحلیل ریلی- ریتز برای سیستمهای چند درجة‌ آزادی

بسط ریتز از روش ریلی که به عنوان تحلیل ریلی – ریتز شناخته می شود به طور گسترده ای برای پیدا کردن تقریبی از کوچکترین مقادیر ویژه و بردارهای ویژة متناظر یک مساله ارتعاش آزاد استفاده شده است.

                                                              (2-2-3)

که در این رابطه [M],[K] ماتریس‌های سختی و جرم و بردارهای ویژه  و مقادیر ویژه یا مجذور فرکانسهای سیستم می باشند.

بردارهای ویژه  را می توان توسط تعدادی تابعهای سعی مجزای{Xi} تقریب زد بگونه ای که

                                                                        (3-2-3)

که {Xi}‌ها توابع شکل عمومی از قبل تعریف شده سیستم مختصات اصلی می باشند که بردارهای ریتز نامیده می شوند و Yi‌ها دسته ای از پارامترها می باشند- مختصات های ریتز- که مشخص کنندة سهم مشارکت هر بردار ریتز در حل می باشند.

بردارهای ریتز در (اکسترمم) فرم اساسی خارج قسمت رایلی جایگزین می شوند و دسته از Yiها، که مقادیر ثابتی بدست می دهد، جستجو می گردند. (روند این کار را می توان در منابع 3 و 12یافت) باقیمانده رایلی را می توان به صورت زیر نوشت.

                                                                              (4-2-3)

[K]* = [X] T [K][X]

[M]* = [X] T [M][X]

وضعیت پایدار منجر به حل مساله مقدار ویژه زیر می گردد.

                                                                                 (5-2-3)

بنابراین تقریب بردارهای ویژه  به صورت  می گردد.

مساله مقدار ویژة کاهش یافته ]معادلة (5-2-3)[ باعث رسیدن به r فرکانس تقریبی، ، و اشکال مدی متناظر آنها می گردد، می توان نشان داد. r مقدار ویژة حاصل از تقریب ریلی ریتز حد بالای مقادیر ویژة ناشی از حل دقیق می باشند.

روند تراکم استاتیکی، ترکیب مؤلفه ای مد، تکرار زیر فضا، و سایر روشهای گوناگون می توانند به عنوان تحلیل ریتز درک شوند. تکنیکها تنها در انتخاب بردارهای اساسی ریتز که در تحلیل فرض می شود تفاوت می کنند.

روند ریتز می تواند در فرمول بندی اجزای محدود برای کاهش تعادل دینامیکی استفاده شود. معادلات تعادل دینامیکی برای مدل اجزای محدود و با در نظرگیری {u} که بردار تغییر مکان گرهی است به صورت زیر نوشته می شود.

                                                                 (6-2-3)

که در اینجا [M] و [C] و [K] ماتریسهای مربعی n×n برای جرم، میرایی و سختی هستند و {F(s,t)} بردار بارگذاری دینامیکی تحمیل شده بر سازه می باشد که تابعی از فضا و زمان می باشد. علامت نقطه بیانگر مشتق نسبت به زمان می باشد.

بردار تغییر مکان گرهی را می توان توسط ترکیبی خطی از r بردار مستقل خطی ریتز، که r بسیار کوچکتر از n است، به صورت زیر تقریب زد.

                                                                                  (7-2-3)

که {Xi} بردارهای مستقل پایه و Yi(t) پارامترهای ناشناخته ای هستند که از حل یک سیستم کاهش یافته به صورت زیر بدست می آیند.

                                                            (8-2-3)

هدف از این انتقال بدست آوردن ماتریس جدید سختی، جرم و میرایی یعنی [K]* ، [M]*و[C]* است که در اندازه آنها کاهش داده شده(rxr) و دارای پهنای باند کوچکتری نسبت به ماتریسهای اصلی سیستم با حفظ صحت مورد نظر می باشد. بنابراین ماتریس انتقال باید با توجه به این مطلب انتخاب گردد که موفقیت روش به مقدار بسیار زیادی وابستگی به انتخاب صحیح بردارهای پایه دارد. انواع گوناگونی از این انتخابها در مقالات پیشنهاد شده اند (2، 7، 3، 23، 24). همانگونه که توسط نور (Noor) در (23) اشاره شده است دستگاه ایده آل بردارهای پایه دستگاهی است که کیفیت نتایج را حداکثر کند و تلاش کلی به دست آوردن آنها را حداقل نماید.

همانگونه که قبلا بیان شد، یکی از بهترین روشهای کاهش شناخته شده برای مسائل دینامیکی خطی «تکنیک برهم نهی مدی» می باشد که شامل انتخاب r مود ارتعاش آزاد بدون میرایی که حاصل از حل مساله مقدار ویژه به عنوان بردارهای پایه می باشد. با این انتخاب ویژه به سادگی می توان نشان داد که ماتریسهای کاهش یافته[C]* و[M]* و[K]* با فرض میرایی به صورت کسری از میرایی بحرانی،، به صورت نظری در می آیند.

                                                                 (9-2-3)

سیستم کاهش یافته به صورت r معادلة مستقل بدست می آید که هر کدام به تنهایی قابل انتگرال گیری می باشند. هر چند این یک شرط لازم برای غیر توأمان شدن معادلات دیفرانسیل نهایی در یک روش کاهش نمی باشد.

فقدان عمومیت در کدهای بر مبنای روش ریلی – ریتز به علت سختی موجود در انتخاب توابع کلی می باشد که، باعث رسیدن به جوابهایی با درجه ای از صحت مورد انتظار در یک تحلیل کامپیوتری می شوند. این وضعیت به طور چشمگیری بر محبوبیت استفاده از بردارهای ویژة دقیق را برای برهم نهی مدی افزوده است. هر چند، ویلسون و همکاران ،الگوریتم عددی ساده ای را برای ایجاد کلاس خاصی از بردارهای ریتز که در اینجا به عنوان (WYD Ritz vectors) یا بردارهای ریتز وابسته به بار نامیده می شوند را توسعه داده اند که پاسخهای با صحت بیشتر و زمان کامپیوتری صرف شدة کمتری نسبت به رهیافت سنتی بردار ویژه برای طیف وسیعی از مسائل مطالعه شده ارائه می نماید.

3-3- تولید خودکار WYD Ritz vectors برای تحلیل دینامیکی

دنباله بردارهای وابسته به بار، که برای کاهش اندازة سیستم به کار می روند، با در نظر گیری توزیع مکانی بارگذاری دینامیکی، که در استفاده مستقیم از اشکال مدی در نظر گرفته نمی شوند، محاسبه می شود.

الگوریتم در فرم حقیقی خود در شکل 1-3 نشان داده شده است. باید به این نکته توجه نمود که بارگذاری دینامیکی {F(s,t)} در معادلة (6-2-3) که برای مقدار دهی اولیه الگوریتم بازگشتی استفاده شده است،‌ به صورت ضرب بردار مکانی و یک تابع زمان نوشته می‌شود.

{F(s, t)}={f(s)} g (t)

اولین مقدار بردارهای ریتز وابسته به بار ،بردار تغییر مکانی است که از تحلیل استاتیکی با استفاده از توزیع مکانی بردار بار دینامیکی، {f(s)} به عنوان ورودی، به دست آمده است. سایر بردارها از ارتباط بازگشتی که در آن ماتریس جرم در آخرین بردار ریتز وابسته به بار ضرب می شود به دست می آیند. سپس بردار حاصله به عنوان بار برای تحلیل استاتیکی استفاده می شود. بنابراین پس از آنکه بردار سختی به صورت مثلثی تجزیه شد، فقط لازم است برای هر بردار ریتز مورد نیاز یک بردار بار به صورت استاتیکی تحلیل شود. استقلال خطی بردارهای ریتز وابسته به بار به وسیلة روند تعامد گرام – اشمیت حاصل می شود.

شکل 1-3- الگوریتم برای تولید خودکار بردارهای ریتز وابسته به بار

(فرمول بندی اولیه و اصلی که توسط ویلسون، یوان و دیکنز (29) پیشنهاد شده است.

1) ماتریسهای [M] و [K] و بردار نیرو {f} موجودند.

                               سایز سیستم

2) تبدیل ماتریس سختی به فرم مثلثی

                سیستم

3) حل برای اولین بردار

           حل برای

                  M نرمال سازی    

       i=2,….,r

4) حل برای بردارهای اضافی

(a)                    حل برای

(b)                             j=1,…,i-1   محاسبه برای

(c)                        M     متعامدسازی

(d)                               M     نرمال سازی

                  

5) متعامد سازی بردارهای ریتز وابسته به بار با توجه به ماتریس سختی (دلخواه):

حل برای مساله مقدار ویژه r*r که داریم.

  فرکانسهای تقریبی

محاسبه بردارهای ریتز وابسته به بار متعامد

تکنیک استفاده شده برای ساختن بردارهای ریتز وابسته به بار باعث ارتونرمال شدن جرم در میان بردارها می گردد به صورتی که[M]* در سیستم کاهش یافته (معادلة (8-2-3)) قطری بوده و متناظر با ماتریس همانی می شود هر چند که ماتریسهای[K]* و[C]* در حالت کلی پر می باشند.

                                                            (1-3-3)

بنابراین معادلة (1-3-3) با استفاده از روش گام به گام انتگرال گیری مستقیم و یا با معرفی انتقال اضافی برای کاهش سیستم به یک فرم قطری قابل حل می باشد.

در حالت وجود نسبت میرایی حل مساله مقدار ویژه

                                                                              (2-3-3)

گروهی از مختصات های مودی [z] ایجاد می نماید که برای قطری کردن سیستم قابل استفاده می باشند. مقدار مقادیر ویژة دقیق برای سیستم کاهش یافته و مقادیر مجذور فرکانس‌های تقریبی برای سیستم کامل می باشند. بردارهای ویژه [z] را می توان برای ایجاد دستة نهایی بردارهای ریتز وابسته به بار و متعامد استفاده کرد.

[▫X] =[X][Z]                                                                                                       (3-3-3)

دسته بردارهای[▫X]  ، نسبت به هر دو ماتریس سختی و جرم در سیستم کامل متعامد می باشند. بعضی از این بردارها می توانند تقریب خوبی از شکلهای مودی دقیق سازه باشند.

در حالت میرایی دلخواه، یک حل از مساله مختلط مقدار ویژه در صورتی که قرار باشد مختصات مودی غیر توأمان شوند لازم است. باید توجه کرد که تلاش عددی لازم برای حل سیستم کاهش یافته از درجة r (معادلة (1-3-3)) به طور معمول در مقایسه با سیستم اصلی کامل از درجة n (معادلة (6-2-3)) بسیار ناچیز می باشد.

از آنجایی که بردارهای ریتز وابسته به بار صورت خودکار در کسری از تلاش عددی لازم برای محاسبة بردارهای ویژة سیستم اصلی تولید می شوند، راهکار مؤثری برای کاهش سیستمهای سازه ای سه بعدی مانند، خاک/سازه، سد/مخزن و سکوهای دریایی که تلاش عددی زیاد و گرانبهایی برای حل به طریق مساله مقدار ویژة کلاسیک لازم دارند، می باشد.

4-3- تاثیر فرمول بندی اجزای محدود بر ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار

سه المان بنیادی در ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار، همانگونه که در شکل 1-3 نشان داده شده است، ماتریس‌های جرم، سختی و توزیع بار می باشد. ماتریسهای جرم  سختی در حالت عادی متقارن و مثبت معین می باشد هر چند ممکن است دو استثنای زیر به وجود آید:

- اگر سازه بتواند آزادانه به صورت یک جسم صلب حرکت کند (مانند هواپیما و یا کشتی) در این حالت ماتریس سختی مثبت و نیمه معین و از رتبة n-b می باشد که b تعداد حرکات مستقل جسم صلب می باشد.

- اگر هیچ جرمی به بعضی جابجایی‌های گرهی اختصاص داده نشده باشد ردیفها و ستونهای کاملا صفر در ماتریس جرم ایجاد می شود و ماتریس جرم منفرد خواهد بود.

- برای برخورد با مساله ماتریس سختی با رتبة معیوب (n-b)، ماتریس مثبت معین جابجا شده ای به صورت زیر

                                                                                                   (1-4-3)

را می توان به جای ماتریس [K] اصلی به کار برد. شیوة بردارهای ریتز وابسته به بار از نظر تئوری همان بردارها را، هر چند با ترتیبی متفاوت، برای هر ماتریس جابجا شده دلخواه به فرم معادلة (1-4-3) ایجاد خواهد کرد. بردارهای ریتز وابسته به بار به گونه ای خواهند بود مقادیر ویژه ماتریسهای سیستم کاهش یافته و بردارهای ویژه متناظر آنها ریشه‌های مدل فیزیکی را نزدیکتر به نقطة مشخص شده مورد علاقه از طیف ویژة،  ،تخمین می زنند.

تعداد کل بردارهای وابسته به بار مستقل که می توانند ایجاد شوند، شامل هرگونه مود جسم صلب موجود، برابر رتبة ماتریس جرم ،s، می باشد. بنابراین، اندازة‌ مساله کاهش یافته، r، نمی تواند از s بزرگتر باشد.

در پایان باید به این نکته توجه شود که برای سیستم‌های بزرگ و یا کلاس ویژه ای از مسائل، روشهای کاهش مختصات مانند تراکم استاتیکی و تکنیکهای زیر سازه‌سازی می توانند مقدم بر اعمال الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار، برای دستیابی به ماتریسهای سیستمی([M],[K],{f}) کوچکتر مورد استفاده در روند محاسبات بردارها، استفاده شوند. مزایای این چنین روندهای حل باید با دقت کامل ارزیابی شوند تا تعداد عملیات لازم برای حل را افزایش ندهند.

1-4-3- ماتریس جرم

دو روش برای ارائه ماتریس جرم در روش اجزای محدود وجود دارد. اول، یک ماتریس (ثابت) پایدار جرم، بر اساس همان توابع شکلی که برای فرمول بندی ماتریس سختی استفاده شده اند، می تواند مورد استفاده قرار گیرد. با بیان در قالب انرژی، این بدان معناست که ارائه انرژی جنبشی هماهنگ با انرژی پتانسیل می باشد. فرکانسهای ویژه ای که با استفاده از ماتریس جرم ثابت و تحلیل ارتعاش آزاد بدست می آیند همگی فراتر از مقادیر دقیق متناظر بر مبنای تحلیل تئوری حقیقی ریلی – ریتز می باشند.

از آنجایی که رفتار دینامیکی سازه حساسیت کمتری نسبت به توزیع جرم در مقایسه با حساسیت نسبت به توزیع سختی دارد، این امکان نیز وجود دارد که جرم گسترده سازه و مصالح غیر سازه ای را با گروهی از جرمهای نقطه ای که در گره‌ها واقع هستند جایگزین کنیم. اگر این گونه ارائه جرم متمرکز شده انتخاب شود، همانگونه که این حالت عمومی در سازه‌های مهندسی عمران می باشد، مرزی برای فرکانسهای ویژه قابل بیان نمی باشد. صحت نتایج هم ممکن است به همان خوبی باشد زیرا استفاده از ماتریس متمرکز شده تمایل به افزایش مقسوم علیه در خارج قسمت رایلی، در مقایسه با روش پایدار، دارد و باعث جابجایی پاسخ به سمت نقطه شروع طیف می گردد.

مزایای محاسباتی در استفاده از جرمهای متمرکز شده آشکار هستند. مقدار حافظه مورد احتیاج کمتر و تعداد عملیات کمتر برای تولید بردارهای ریتز وابسته به بار. به علاوه، این مطلب بدین‌گونه قابل بیان شدن است که استفاده از فرمول بندی ثابت جرم فقط هنگامی ارزش دارد که وجود ضرایب همزمان سازی جرم مقدار عملیات محاسباتی لازم را به طور قابل ملاحظه ای افزایش ندهد، در غیر این صورت همان مقدار عملیاتی که به حل مساله اختصاص داده شده ، با تعداد بیشتری از متغیرهای پایه ممکن است سودمندتر باشد. چندین امکان در صورت استفاده از جرمهای متمرکز شده در ترکیب بردارهای ریتز وابسته به بار برای انتخاب بردارهای پایه وجود دارد. برای مثال با افزایش تعداد جرم‌های متمرکز شده، در حالیکه تعداد بردارهای ریتز وابسته به بار را ثابت نگه داریم، باید حل دقیق تر و صحیح تری بدون افزایش قابل توجه تلاش عددی ارائه کند.

2-4-3- بردار بارگذاری

صحت مبنای (پایة) بردارهای ریتز وابسته به بار که قرار است در کاهش مختصات یا بر هم نهی مستقیم برداری استفاده شوند به طبیعت بارگذاری سیستم مرتعش بستگی دارد. در حالت کلی، مقدار هر مؤلفه بردار، همانگونه که توسط مختصات‌های متناظر ریتز وابسته به بار بیان می شود، به ارائه هر دو عامل توزیع مکانی بار که به وسیله بردارهای مبنای کوتاه شده و محتوای فرکانس بار اعمالی در مقایسه با فرکانسهای باقی ماندة سازه، بستگی دارد.

1-2-4-3- محتوای فرکانسی

اثر فرکانس همانند شکل 2-3 قابل تصویر شدن می باشد که از مرجع (11) گرفته شده است و مشارکت نسبی نیروهای الاستیک و اینرسی را در یک سیستم تک درجة آزادی بدون میرایی را در مقابله با بارهای اعمالی که در اینجا یک بار‌هارمونیک است، نشان می دهد.

نتایج حاصله از مطالعة پاسخ این سازة یک درجه آزادی، برای تحلیل نمودن سازه‌های چند درجة آزادی نیز مناسب می باشد زیرا پاسخ کامل با برهم نهی کامل پاسخ اندازه گیری شده برای هر مختصات ریتز که مانند یک سیستم تک درجه آزادی با آن برخورد می شود حاصل می شود و نیز بارگذاری واقعی را می توان، با تجزیه فوریه، به صورت بر هم نهی مؤلفه‌های ‌هارمونیک سینوسی و کسینوسی بدست آورد.

مشاهده می شود که نیروی مقاوم اینرسی تنها برای مودهای با فرکانس پایین کافی می باشد درحالیکه برای مودهای با فرکانس‌های بزرگتر از حدود 3 برابر فرکانس بارگذاری مقاومت اصولاً الاستیک است که این بیانگر این مطلب است که مقاومت مودهای بالاتر به عنوان یک مساله استاتیک قابل محاسبه هستند.

شکل 2-3- نیروهای اینرسی و الاستیک در مقابل فرکانسهای مدی

2-2-4-3- توزیع مکانی

هنگامی که معادلات تعادل دینامیکی سیستم کاهش یافته را تشکیل می دهیم، بار دینامیکی به صورت زیر محاسبه می شود:

                                                      (2-4-3)

با توجه به معادلة (1.15)  {Fi}* ناچیز خواهد بود، اگر توزیع مکانی بار خارجی {f(s)} و بردار شکل {Xi} کاملا نامتشابه باشند و این بردار را می توان بدون کاهش صحت از پاسخ حذف کرد.

یک مثال مهم برای اینگونه رفتار در بارگذاری زلزله یافت می شود که بارگذاری زلزله در کل سازه توزیع می شود و به طور مؤثری تنها با مودهای پایین تر اندر کنش دارد.

هر چند بارهای خارجی که بر نقاط خاصی از سازه وارد می شوند تمایل به مشارکت با تمامی مدها دارند و هیچکدام به صورت دلخواه قابل حذف شدن نیستند. اگر بارگذاری اساساً فرکانس پایین باشد، ایدة شکل قبل قابل اعمال است و مدهای بالاتر همانند بارهای استاتیکی پاسخ خواهند داد.

بخش چهارم:

ارتباط بین الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار و روش Lanczos

روش‌های عالی توسعه یافته انتقال برای سیستمهای کوچک (گیونس، هوس هولدرز (Householders)، QR یا LR) برای مسائل از مرتبة بزرگ مقادیر ویژه که در تحلیل ارتعاش سازه ای حادث می شوند به دلیل آنکه نمی توانند از مزیت پراکندگی استفاده کنند، سودمند نمی باشند. در طی 25 سال گذشته تلاش بسیار زیادی برای توسعة روشهای تکرار برداری به منظور حل مسائل ویژه بزرگ و پراکنده، صورت گرفته است. روش تکرار زیر فضا به صورت رهیافتی استاندارد برای مواجهه با تحلیل مقدار ویژة سیستم‌های ساختمانی بزرگ پدید آمده است و در چندین کد برای کامپیوترهای Main frame مانند (2.3) SAP-IV, (2.8) ABAQUS, (2.1) ADINA مورد استفاده قرار گرفت. در حدود سالهای 86 توجه زیادی به روش Lanczos، که به خودی خود تکنیکی تکراری نیست، برای بدست آوردن یک الگوریتم عملی که به عنوان جایگزینی برای حل ویژه قابل استفاده باشد، اختصاص یافت. در این فصل به مقایسة اجمالی این روش (Lanczos) و روش بردارهای ریتز وابسته به بار می پردازیم.

1-4- روش Lanczos

روش Lanczos  ابتدا به عنوان روشی برای تبدیل ماتریسها به ماتریسهای سه قطری یعنی ماتریسی که تنها اعضای روی قطر اصلی، خط بالا و پایین آن غیر صفر هستند پیشنهاد شد. دنباله ای از بردارهای تکرار به وسیلة پیش ضرب در ماتریسی که قرار است کاهش یابد تشکیل می شوند. هر بردار با توجه به دو بردار قبلی خود متعامد می شود، می توان نشان داد این متعامد سازی برای حصول تعامد با تمام بردارهای قبلی کافی خواهد بود. ضرایب از روند متعامدسازی محاسبه می شوند سپس ترکیب می شوند تا بعد از آنکه n بردار حساب شدند n) درجة سیستم می باشد) ماتریسی سه قطری تشکیل دهند که از نظر تئوری همان مقادیر ویژة ماتریس اصلی را دارا باشند. الگوریتم Lanczos که به حل مساله مقدار ویژه عمومی به فرم زیر

                                                                                        (1-4)

اعمال می شود. در شکل 1-4 نشان داده شده است. در روش Lanczos بردارهای محاسبه شده به صورت متقابل متعامد هستند. هر چند توسعه‌های اولیة روش دچار اختلال شدند و این بدان علت است که متعامد سازی ضمنی در عمل با شکست مواجه می شود و اعمال روشهای متداول متعامدسازی بر حل ویژة کامل ماتریس سیستم مزیت محاسباتی این روش را کاهش می دهد. شماهای گوناگونی برای غلبه بر مساله فقدان تعامد پیشنهاد شده اند و برنامه‌های قابل اعتمادی هنگامی که حل ویژة جزئی از یک ماتریس بزرگ مد نظر باشد توسعه داده شده اند (25 و21).

کاربرد سنتی روش Lanczos برای حل معادلات تعادل دینامیکی شامل اعمال الگوریتم برای محاسبة تعداد مشخص (m) از مقادیر ویژة دقیق و بردارهای ویژة متناظر برای غیر توأمان کردن معادلات حرکت بوده است.

بردار آغازین معمولا به صورت تصادفی انتخاب شده و اطلاعات مهم ویژة مساله دینامیکی را نادیده می گیرد سپس به صورت نمونه اعمال زیر انجام می شوند:

شکل 1-4- روش Lanczos برای حل مساله مقدار ویژه عمومی

1) ماتریسهای جرم و سختی موجود [M] و [K]

[M] , [K]                             n*n      اندازه سیستم

2) مثلثی کردن ماتریس سختی

                سیستم

3) انتخاب بردار آغازین دلخواه

         M نرمال سازی    

              

4) حل برای بردارهای اضافی با i=2,…,r

(a)                 حل برای

(b)             

(c)                        M     متعامدسازی

(d)                               M     نرمال سازی

                  

5) ساختن ماتریس سه قطری

برای نمونه r=2m که m تعداد مقادیر ویژه مورد نیاز است.

6) محاسبه مقدار ویژه و بردارهای ویژه ماتریس

7) بسط بردارهای ویژه به کل اندازه سیستم

- سه قطری سازی Lanczos کوتاه شده با ساختن ماتریس r)[Tr] به اندازه ای بزرگ انتخاب می شود که تقریب خوبی از m مقدار ویژة اولیه قابل محاسبه باشد مثلاً (r=2m).

- استخراج مقادیر ویژه به روش QR از سیستم سه قطری کاهش یافته.

- تکرار معکوس برای بدست آوردن بردارهای ویژه از سیستم کاهش یافته

- بسط بردارهای ویژه به کل اندازة سیستم

صحت حل ویژه و همگرایی روش Lanczos به طور قابل ملاحظه ای تحت تاثیر محتوای طیفی بردار آغازین{X1} ، تعداد بردارهای r تولید شده با استفاده از این روش و بازة مقادیر ویژه مساله ویژه قرار دارد. با بررسی مجدد عملکرد و کارایی الگوریتم ملاحظات زیر بر روی هر کدام از عوامل مؤثر بر همگرایی قابل بیان کردن می باشند:

 (a محتوای طیفی بردار آغازین

اگر بردار{X1} و بردار مورد نیاز متعامد باشند، بردار و مقدار ویژة متناظر به وسیله حل پیش بینی شدة ویژه ،حذف خواهند شد. یک پی‌آمد مستقیم این خاصیت آن است که اگر بردار{X1} در بعضی از مؤلفه‌های بردار ویژه ناکارآمد می‌باشد و در یک زیر فضای   iبعدی از فضای n بعدی فرم گرفته شده توسط عملگرهای (M) و (K) قرار می گیرد، بردار  {Xi+1} از نظر تئوری تهی می باشد.

 (b تعداد بردارهای تولید شده با استفاده از این روش

صحت تقریب با افزایش تعداد بردارهای تولید شده، r، افزایش می‌یابد اگر r=n ، درجه سیستم کلی، ‌باشد یا اگر مؤلفه‌های بردارهای ویژة تا  در بردار اولیه (آغازین) حاضر نباشند آنگاه کوچکترین r مقادیر ویژه و بردارهای متناظر به صورت کاملاً دقیق پیش بینی می شوند.

(c بازة مقادیر ویژة مساله ویژه

         صحت جفتهای ویژه (مقدار ویژه و بردار ویژه) تا حدی نیز به بازة مقادیر ویژة از مساله ویژة عمومی بستگی پیدا می کند. هر چه این بازه بزرگتر باشد صحت به کارگیری روش Lanczos هم بیشتر می باشد.

روش Lanczos یک روش تکراری نمی باشد. بنابراین تحلیل گر با انتخاب r بزرگ، کنترل کمی بر روی صحت نتایج دارد. برای حصول اطمینان از حل ویژة درست غالباً این روند با یکسری محاسبات کنترل حد خطا و کنترل توالی استورم همراه است تا اطمینان حاصل شود هیچ مقدار ویژه ای به طور کامل از دست نرود.

2-4- خواص اساسی بردارهای ریتز وابسته به بار

چادهری(1. (Chowdhuryپیشنهاد نموده است که بردارهای Lanczos در محاسبات پاسخ دینامیکی می توانند به جای مدهای نرمال به عنوان متغیرهای اصلی استفاده شوند اما این ایده را توسعه نداد. همانگونه که قبلاً عنوان شد، ویلسون و همکاران ایدة تولید دسته ای از بردارهای متعامد برای استفاده از نوع آنالیز ریتز به عنوان روشی در کنار برهم نهی مدها را مستقلاً توسعه دادند، با مقایسة الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار که در شکل 1-3 و روش Lanczos که در شکل 1-4 نشان داده شده است. مشاهده می شود که عناصر اصلی هر کدام عبارتند از:

(a  دنباله بردارها از رابطه زیر بدست می آید:

                  (2-4)

که برای ریاضیدانان به عنوان زیر فضای کریلف (Krylov) شناخته می شود.

(b روش انتقال ریلی – ریتز برای بدست آوردن تقریبی از مساله مقدار ویژه.

باید به این نکته توجه شود که دنبالة برداری بالا، هر گاه بدون متعامدسازی بدست آید، به بردار ویژة متناظر با کوچکترین مقدار ویژه همگرا می شود که در حرفة مهندسی عمران روش تکرار stodola نامیده می شود.

روش Lanczos و بردارهای ریتز وابسته به بار به همراه به کارگیری دنبالة Krylov و متعامدسازی گرام – اشمیت در هر گام، به دسته ای از بردارهای ارتونرمال [M] برای کاهش اندازة سیستم معادلات دینامیکی به تعداد کوچکی از مختصات عمومی منتج می شود. همانگونه که دیده می شود این دو روش توازی دارند و الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار شبیه به روش تولید بردارهای Lanczos می باشد. هر چند باید توجه شود که فلسفة انتخاب بردار آغازین که برای مقدار اولیه دادن به الگوریتم تکراری و استفادة بعدی پایه برداری که کاهش معادلات تعادل دینامیکی، که روش بردارهای ریتز وابسته به بار پیشنهاد شده است، جدید می باشد.

3-4- نکاتی در مورد تعامد بردارهای پایة ریتز وابسته به بار

در عمل، در محاسبة سیستمهای بزرگ مشاهده شده است، که بردار {Xi} ممکن است به دلیل خطای گردکردن و توقف روند گرام – اشمیت نسبت به [M] متعامد نباشد. استفاده از بهینه سازی‌های تکراری متعامدسازی در یک مقیاس محلی با بردارهای  {Xi-1},{Xi-2}و هر گاه لازم باشد در یک مقیاس عمومی با تمام بردارهای فرم یافتة قبلی به طور مؤثری برای غلبه بر ناپایداری عددی روش گرام – اشمیت به کار گرفته شد‌ه است.

الگوریتم استفاده شده برای تولید بردارهای ریتز وابسته به بار، بنابراین مشابه روش استفاده شده برای بدست آوردن بردارها Lanczos می باشد که برای آن بردار آغازین که برای مقداردهی اولیة رابطه تکراری استفاده می شود از توزیع مکانی بارگذاری دینامیکی بدست آمده است. به علاوه، در رهیافت بردارهای ریتز وابسته به بار، با پیشرفت پروسه الگوریتم، متعامدسازی مجدد و کامل نسبت به تمامی بردارهای قبلی برای هر بردار جدید اضافه شده به پایه انجام می گردد. هر چند نشان داده خواهد شد که این در حالت کلی برای اطمینان از تعامد نسبت به [M] کافی نمی باشد.

4-4- تحلیل سیستمهای با میرایی

هنگام استفاده از روش اجزای محدود ایجاد ماتریس میرایی به علت کمبود اطلاعات در مورد مکانیزمها و سطح میرایی در سازه مشکلات خاصی به همراه دارد.  اگر مکانیزمهای میرایی به میرایی درونی یا مادی محدود شده باشد و سازه از یک مادة همگن ساخته شده باشد آنگاه ماتریس میرایی به صورت نسبتی از ماتریس سختی خواهد بود. برای سازه‌های ساخته شده از دو مادة همگن یا بیشتر یا در مسائل اندرکنش مانند سیستمهای خاک/سازه یا سیال/ سازه هر مؤلفه ماتریس میرایی ممکن است نسبتی از مؤلفه متناظر در ماتریس سختی باشد اما به علت آنکه این ثابتهای این تناسب تفاوت می کنند ماتریس میرایی به صورت نسبتی از ماتریس سختی نخواهد بود. اگر قرار باشد برای سیستم حل به طریق برهم نهی مستقیم برداری استفاده گردد این گونه سیستمها که ماتریس میرایی به صورت نسبتی از ماتریس سختی نمی باشد نیازمند توجه ویژه ای می باشد.

1-4-4- روند حل برای میرایی متناسب (با ماتریس سختی)

معادله تعادل اساسی که از روش اجزای محدود برای مساله ارتعاش آزاد با میرایی حاصل می گردد را در نظر بگیرید.

                                               (3-4)

اگر روش مد نرمال استفاده گردد، بر اساس رابطه زیر، بردارهای ویژة مساله ارتعاش آزاد با میرایی برای قطری کردن ماتریس سختی و جرم سیستم استفاده خواهد شد.

                                                                                       (4-4)

                                                  (5-4)

عبارات میرایی در صورتی که         ماتریس قطری باشد، غیر همزمان می گردند. برای رسیدن به غیر همزمانی میرایی ماتریسهای در معادلة (3-4) باید به طور مشترک یک فضای ویژه (Eigenspace) دارا باشند. با توجه به تحلیلهای ریاضی دو بردار [B] و [A] در صورتی که قابلیت جابجایی داشته باشند یعنی [A][B]=[B][A] آنگاه به اشتراک یک فضای ویژه دارند. بنابراین شرط لازم و کافی برای غیر همزمانی میرایی عبارت است از:

                                             (6-4)

در حالت کلی این شرط ارضا نمی گردد ولی Caughey نشان داده است که با توصیف ماتریس [C] به صورت نسبتی از [K], [M] مطابق با

                                                                               (7-4)

ماتریس کاهش یافته میرایی [C]* قطری خواهد بود. در اکثر تحلیلها با استفاده از روش مد نرمال ماتریس میرایی [C] به صورت صریح فرم نمی گیرد ولی در عوض فرض می گردد که میرایی نسبتی از جرم و سختی می باشد، به گونه ای که:

                                                                                    (8-4)

که در اینجا یک پارامتر میرایی مدی می باشد و ، دلتای کرونکر می باشد.

اگر نیاز باشد ماتریس میرایی [C] به صورت صریح فرم گیرد مهم است که حالت ویژه ای از معادله
(7-4) با استفاده از i =0, 1 خواهیم داشت.

                                                                      (9-4)

که به عنوان میرایی ریلی شناخته می شود. ثابتهای a0و a1، ثابتهای تناسب و دلخواه می باشند که به ماتریسهای [K],[M] سیستم کامل اعمال می گردند. نسبت میرایی مودال برای هر مد را می توان به صورت زیر تعریف نمود.

      (10-4)

از معادله (10-4) مشاهده می شود که مدهای پایین تر به صورت عمده توسط میرایی متناسب با جرم میرا می گردند و مدهای بالاتر توسط میرایی متناسب با سختی میرا می گردند ثابتهای a0 و a1 طوری انتخاب می شوند تا هر چه نزدیکتر، سطح میرایی برای مودهایی که در محدودة فرکانس مهم برای پاسخ سازه واقع هستند، بدست آید. میرایی ریلی روشی مناسب برای معرفی ایده میرایی ارائه می کند زیرا هیچ حافظه اضافی به علت آنکه ماتریسهای [K],[M] از قبل موجودند، نیاز نمی باشد. ماتریس میرایی [C] همان خواص تعامد [M],[K] را دارا می باشد.

یک مشاهده مهم، از دید عددی، اگر بیشتر از دو ثابت تناسب (  a0و a1به علاوه بقیه) استفاده شوند، آنست که ماتریس [C] در حالت کلی پر خواهد بود و این بدان معنی است که فرم نواری [K],[M] از دست خواهد رفت. این مطلب اگر ماتریس [C] به طور صریح فرم یابد نیاز به حافظه بیشتری دارد و اگر روش حل گام به گام روی سیستم کاهش نیافته انجام گیرد انجام اعمال به طور قابل ملاحظه ای بیشتر، مورد نیاز می باشد. بنابراین در اکثر تحلیل‌ها به وسیله انتگرال گیری مستقیم میرایی ریلی استفاده می گردد.

معادلات تعادل کاهش یافته اجزای محدود با میرایی ریلی با استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار [X] به عنوان بردارهای تبدیل ماتریس میرایی کاهش یافته زیر را ارائه   می کند.

                                                                                         (11-4)

ماتریس [K]* در حالت کلی پر خواهد بود و ماتریس [C]* نیز همان مکان شناسی (topology) ماتریس [K]* را دارا می باشد.

معرفی ماتریس اضافی [Z] برای متعامدسازی بردارهای ریتز وابسته به بار با توجه به ماتریس سختی ‌، همانگونه که قبلا شرح داده شد سیستم کاهش یافته را قطری خواهد کرد.

                                                                                         (12-4)

       اگر حل در سیستم مختصات Lanczos روی یک سیستم با میرایی ریلی انجام گردد خواهیم داشت:

                                                                                        (13-4)

بنابراین ماتریس کاهش یافتة میرایی [C]* سه قطری خواهد بود. اگر بیشتر از دو عبارت در سری Caughey (معادلة (7-4)) محاسبه گردد، ماتریس کاهش یافتة میرایی [C]* این خاصیت سه قطری خود را از دست می دهد و در حالت کلی پر خواهد بود.

2-4-4- روند حل برای میرایی غیر متناسب

هنگامی که ماتریس غیر متناسب میرایی با توجه به خواص میرایی مؤلفه‌های گوناگون در سازه مشخص گردید راه حل عددی مناسبی برای حل معادلة تعادل

                                                                     (14-4)

با توجه به این محدودیت که مدهای نرمال بدون میرایی، یا بردارهای ریتز وابسته به بار متعامد با جرم یا سختی سیستم را قطری نخواهند کرد، باید پیدا شود. روندهای حلی که اکثراً استفاده می‌شوند عبارتند از:

- روش انتگرال گیری مستقیم با استفاده از مختصات هندسی اصلی یا یک دسته از مختصات عمومی ریتز کاهش یافته.

- روش برهم نهی برداری با استفاده از بردارهای شکل مختلط یا توابع حقیقی به همراه نسبتهای میرایی وزن دار.

یک روش واضح برای تحلیل سازه‌های با میرایی غیر متناسب انتگرال گیری مستقیم معادلات حرکت توأمان توصیف شده در مختصات مجزای اصلی می باشد. مهمترین اشکال این روش آنست که تمامی معادلات حرکت باید در آنالیز استفاده گردند که نیاز به محاسبات عددی زیادی دارد.

برای بدست آوردن یک حل کارآمدتر روند انتگرال گیری مستقیم روی یک سیستم کاهش یافته که با مختصات عمومی ریتز معرفی می شود توسط کلاف و مجتهدی (9) پیشنهاد شده است. کلاف و مجتهدی در ارائه روش خود گروهی از کوچکترین اشکال مدی دقیق یک مساله ارتعاش آزاد را به عنوان بردارهای تبدیل برای بدست آوردن یک سیستم توأمان کاهش یافته که انتگرال گیری خواهد شد استفاده کردند.

سیستم کاهش یافته توأمان مرتبة بسیار کوچکتری نسبت به سیستم اصلی خواهد داشت به طوری که یک حل اقتصادی برای مساله ای با گامهای زمانی کوتاه روی یک رکورد بلند بارگذاری همچنان امکان پذیر می باشد، در حقیقت، شاید روندی با استفاده از الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار که در شکل 1-3 ارائه شده اند برای تولید بردارهای تبدیل، حتی باعث رسیدن به تکنیک حل کارآمدتری گردد زیرا این بردارها نسبت به بردارهای ویژة دقیق اقتصادی‌تر می باشند. این روش عددی روی یک تیر برشی آزمایش شده و ثابت گردیده که بسیار کارآمد می باشد.

         معادلات حرکت یک سازه یا میرایی غیر متناسب را می توان با استفاده از حل مساله ویژة مختلط هم غیر توأمان نمود.

                                                            (15-4)

در چنین حالتی شکلهای مدی مختلط و فرکانسهای مختلط شامل مؤلفه‌های داخل فاز و خارج فاز می باشند که گویی مساله ویژه اساساً از مرتبة 2n بوده است. رهیافتی مشابه برای قطری کردن سیستم کاهش یافته، شرح داده شده در بردارهای ریتز وابسته به بار به وسیلة [M]* و [C]* و [K]* می تواند استفاده گردد، پس بعد از آن، مرتبة مساله ویژه 2r خواهد بود که r تعداد بردارهایی می باشد که در عمل تبدیل حفظ می گردند.

عمده ترین حسن این روند غیر توأمان سازی نسبت به انتگرال گیری مستقیم از سیستم توأمان یک حل دقیق ریاضی در صورتی که یک تابع بارگذاری تقریبی معرفی شود، می باشد. حل معادلات دیفرانسیل غیر توأمان که تحت تاثیر بارهای دینامیکی که توسط یک سری از خطوط مستقیم در میان بازه‌های مساوی یا نامساوی زمانی ارائه می شود، قرار گرفته اند، به فرم بسته قابل فرمول بندی می باشد. این توصیف تقریبی بار عموماً برای هر گونه رکورد گذرای رقمی شده استفاده می گردد. مشکل روش انتگرال گیری مستقیم برای سیستم توأمان آن است که پاسخ دینامیکی عموماً در معرض طویل شدگی زمان تناوب و زوال دامنه با افزایش زمان می باشد.

اشکال عمدة روش ویژه (eigenmethod) آنست که اندازه مساله ویژة بزرگتری باید در نظر گرفته شود و نیز لازم است در پاسخ دینامیکی با اعداد مختلط کار شود.

5-4- فلسفة اساسی فراسوی بردارهای ریتز وابسته به بار

اگر هدف محاسبات ، حل ویژه صحیح است متوجه می شویم، با استفاده از روش Lanczos، تعداد مختصات‌های عمومی در سیستم کاهش یافته، r، باید بسیار بزرگتر از تعداد مدهای ، m، باقی مانده در مجموع بر هم نهی مودال باشد. از دید عدم اطمینان موجود در بارگذاری، به ویژه برای تحلیل زلزله، آشکار می شود، هزینة اضافی ناشی از استخراج مدهای بالاتر و مدهای صحیح تر واقعاً ارزشی ندارد، یک روش عددی که برای ارائه درست بارگذاری مشخص و پاسخ ناشی از آن با حداقل عملیات عددی تدوین شده باشد حتی اگر حل ویژة دقیقی ارائه نکند، باید برای مصارف طراحی کافی تلقی گردد.

هدف روش بردارهای ریتز وابسته بار بدست آوردن یک حل دقیق از مساله ویژه (eigenproblem) ارتعاش آزاد نیست بلکه تشکیل یک پایه برداری دقیق وابسته به بار برای تبدیل معادلات تعادل دینامیکی به فرم مناسب تری برای حل می باشد. سپس حل دستة تبدیل شدة معادلات، به تعداد مشخص مختصات ریتز وابسته به بار، توسط هر روش استاندارد عددی که در دینامیک سازه‌ها استفاده می گردد مانند روش انتگرال گیری مستقیم گام به گام، تحلیل در حوزة فرکانس یا تکنیک طیف پاسخ قابل انجام است. پس اگر یک حل برهم نهی برداری انتخاب گردد تعداد مختصات ریتز وابسته به بار استفاده شده در تبدیل به طور نمونه مشابه تعداد بردارهای نگهداری شده در جمع‌بندی برای رسیدن به یک تکنیک حل بهینه خواهد بود.

در تئوری هنگام استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار تنها بردارهایی که با الگوی بارگذاری مکانی تحریک می شوند ایجاد می گردد در حالیکه بعضی از بردارهای ویژة دقیق ممکن است تقریبا نسبت به الگوی بارگذاری مکانی متعامد باشند و در پاسخ اشتراک چندانی نداشته باشند. نتایج عددی به وضوح نشان می دهند که یک حل دینامیکی که به طور مستقیم با بردارهای ریتز وابسته به بار کار می کند، یا در مختصات Lanczos که از بردارهای ریتز وابسته به بار بدست آمده است ، بسیار کارآمدتر از روش حل مقادیر ویژه برای مسائل مورد بررسی می باشد.

بخش پنجم:

توسعة تخمین خطا برای روش کاهش بردارهای ریتز وابسته به بار

روش‌های کاهش در صورت عدم استفاده کارا از تخمین‌های خطا قابل اطمینان نمی باشند. در روشهای کلاسیک برهم نهی مستقیم بردار برای سیستمهای خطی، تنها تقریباتی از مدهای کوچکتر سازه استفاده می گردد. حتی اگر علاقه به فرکانسهایی نزدیک به مقداری خاص برای بررسی وضعیت تشدید حاصل از نیروهای نوسانی باشد، فرکانسهای مشخص شده باید در انتهای پایین طیف (lower end) باشند. بخاطر اینکه تقریباتی که در ایده‌آل سازی فیزیکی به وسیله اجزای محدود صورت می گیرد باعث می شود فرکانسهای بالاتر در مدل ریاضی اشتباه باشند. بنابراین مدهای بالاتر از تحلیل خارج می گردند و باید کنترل گردد که بردارهای باقیمانده به درستی توزیع مکانی را ارائه می کنند و به طور مؤثر و ممکن محدودة فرکانس بارگذاری اعمال شده را پوشش می دهند.

در این قسمت تخمین‌های خطا برای حصول اطمینان از اینکه بارگذاری مشخص شده به درستی توسط پایة ریتز وابسته به بار نشان داده می شوند و نیز برای سنجش ارتباط میان حل ریتز وابسته به بار در سیستم کاهش یافته و حل ویژة دقیق در سیستم اصلی ارائه می گردد. تشبیهی بین روش کاهش ریتز وابسته به بار و روشهای شناخته شدة تصحیح استاتیکی و شتاب مودی که برای بهبود مجموع یابی مودی در هنگام کار بر روی گروه بردارهای کاهش یافته استفاده می شوند، بسط خواهد یافت. در نهایت بعضی توجهات به فرکانس در روند تخمین خطا مورد بحث قرار خواهند گرفت.

1-5- تخمین‌های خطای مکانی برای ارائه بارگذاری

یک جنبة مهم از برهم نهی مستقیم بردار برای حل معادلات تعادل دینامیکی تعلق به تعداد بردارهایی که باید در تحلیل باقی بمانند، دارد. هر چه تعداد بردارهایی که برای یک حل رضایت بخش باید در حل بمانند افزایش یابد، هزینة تحلیل به سرعت افزایش می یابد.    ساده ترین راه برای آنکه بفهمیم چه تعداد بردار، یا مختصات عمومی، در تحلیل اجزای محدود باید باقی بمانند، استفاده از حل تکراری می باشد که بردارهای جدید را تا رسیدن به همگرایی، به حل اضافه نماییم. واضح است که این روش حتی برای سیستمهای کوچک اقتصادی نمی باشد. رهیافت بهتر توسعة یک معیار خطا در سطحی از الگوریتم ایجاد بردار، برای مشخص کردن زمان توقف تولید بردار جدید و حصول اطمینان از همگرایی برای مقادیر دلخواه پاسخ می‌باشد.

2-5- ارائة بارگذاری به وسیلة پایه بردارهای ریتز وابسته به بار

هانستین و بل (16) نشان دادند موارد عدم صحت در کوتاه کردن مودی توسط حذف مؤلفه‌های بار متعامد بر مدهای موجود در حل به وجود می آید. ایدة اصلی برای اندازه گیری قسمتی از بردار نیروی خارجی که در مجموع برهم نهی بردار وارد نشده است ،  بسط بردار بار در قالب پایة بردارهای کوتاه شده و تعریف معیارهای خطا که تابع باقیمانده‌ها Residual می باشند، است.

دستة کاملی از بردارهای ریتز متعامد بر جرم پایه ای برای فضای خطی n بعدی تشکیل می دهند بنابراین یک بردار دلخواه مانند توزیع مکانی بارگذاری {f(s)} را می توان به صورت زیر نوشت.

                                                                                           (1-5)

با پیش ضرب معادلة (1-5) در[X]T و استفاده از شرط ارتونرمال بودن نسبت به M، یعنی  خواهیم داشت.

[X] T {f(s)}={p}                                                                                                (2-5)

با جایگزینی (3.2) در (3.1) داریم:

{f(s)}=[M][X][X]T{f(s)}                                                                  (3-5)

بنابراین توزیع مکانی بارگذاری را می توان توسط سری محدود زیر توصیف نمود.

                                                                                       (4-5)

در جایی که ضریب مشارکت برداری،  ، به صورت زیر تعریف می شود:

                                                                                               (5-5)

در استفاده از بردارهای ویژة دقیق یا بردارهایی ریتز وابسته به بار در یک تحلیل برهم نهی مستقیم، ضریب مشارکت نمایانگر مستقیم آن است که آیا، {Xj}، در حل دینامیکی دخالت خواهد کرد یا نه. ضریب مشارکت، pj، بنابراین ممکن است به صورت مختصات بردارهای بار توصیف شده در قالب بردار دیده شود. بنابراین خطا در ارائه بار به وسیلة تعداد کاهش یافته بردارهای باقیمانده، r، ممکن است به صورت زیر تعریف شود.

                                            (6-5)

       باید به این نکته توجه شود که از صحت معادلات (3-5) تا (6-5) با استفاده از بردارهای شکلی،{Xj} که تنها نسبت [M] ارتونرمال می باشد اطمینان حاصل می گردد. اگر ما بردارهای ریتز وابسته به بار متعامد با [M] و [K] را، ، به جای ماتریس بردار [X] در معادله (3-5) جایگزین کنیم خواهیم داشت:

                                                                            (7-5)

با استفاده از ، در جایی که [X] بردارهای ریتز وابسته به بار می باشند که تنها متعامد بر جرم هستند، خواهیم داشت:

{f(s)}=[M][X][Z][Z]T[X]T{f(s)}                                                                        (8-5)

                                                                  (9-5)

که

                                                                     (10-5)

که pjضریب مشارکت برای بردارهای متعامد با [K] و [M] می باشد ماتریس Z در معادلة (8-5) بردارهای ویژة سیستم کاهش یافته، و به گونه ای نرمال شده اند که

یا

                                                                                                        (11-5)

با جایگزینی معادلة (3.11) در (3.8) داریم.

{f(s)}=[M][X][X]T{f(s)}                                                                                   (12-5)

معادلة (12-5) دقیقاً شبیه معادلة (3-5) که قبلاً بدست آمده می باشد. با استفاده از یک دستة بردار کاهش یافته می توانیم بنویسیم.

                                                   (13-5)

حقیقت مهم در مورد معادلة (13-5) آنست که برای تعداد ثابت بردارهای باقی مانده، r، دقیقاً مقادیر مشابهی برای {fr(s)} با استفاده از بردارهای تنها متعامد بر جرم،{Xj} و یا با استفاده از بردارهای متعامد بر [M] و [K] یعنی {▫Xj}به دست می آوریم. برای به کارگیری عملی الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار این بسیار حایز اهمیت است زیرا اگر قرار باشد سیستم کاهش یافته قطری شود، قبل از حل مساله ویژة کاهش یافته می توانیم بدانیم خطای موجود در ارائه بارگذاری حاصل شده از پایه بردار نهایی [▫X]چه خواهد بود.

بسطی از ارائه بارگذاری برای انجام تحلیلهای سه بعدی عمومی تر لازم می باشد. در این حالت بارگذاری را می توان به صورت زیر نوشت:

                                                                                   (14-5)

که در اینجا  توزیع مکانی درj امین جهت y , x) یا z) وgj(t) تابع زمانی متناظر با آن می باشد.

اولین رهیافت تحلیلی ممکن است شامل اعمال علامت مجموع در معادله (14-5) بر سطح محاسبات پاسخ باشد. بنابراین الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار برای هر محور با استفاده از {fx(s)},{fy(s)},{fz(s)} به عنوان توزیع بار اولیه برای بدست آوردن پایة بردار سه بعدی اجرا می شود که با برهم نهی آنها پاسخ کلی بدست می آید. این روش هنگامی کارآمدترین است که بردارهای بارگذاری متناظر با بردارهای اصلی سازه باشد به گونه ای که در هنگامی که سازه تحت تحریکات مستقل قرار می گیرد همزمانی در پاسخ نداشته باشیم.

تجربیات عددی واقعی در مورد پاسخ لرزه ای یک سازة سه بعدی  نشان داده است که علامت مجموع را می توان به صورت مؤثری در سطح توزیع بار اولیه، برای ایجاد یک پایة برداری ریتز وابسته به بار که از بردار اولیه زیر ساخته شده‌اند، اعمال کرد.

{f(s)}={fx(s)}+{fy(s)}+{fz(s)}                                                                           (15-5)

باید دقت شود که هرچند یک پایة برداری در تمام محاسبات قابل استفاده می باشد، بسیار مهم است که برای پایداری در محاسبات خطا جهت پذیری بار نیز در نظر گرفته شود، یک ارزیابی مستقل برای ارائه بارهای دینامیکی بدست آمده توسط پایه کوتاه شده برای جهات «X»،«Y»  و«Z» باید انجام شود. برای مثال، اگر جهت پذیری در تحلیل سه بعدی منظور نگردد، ضریب مشارکت، pj ، که از{Xj}T{f(s)} بدست آمده است، که {f(s)} از معادلة (15-5) بدست می آید برابر خواهد بود با:

pj=px,j+py,j+pz,j                                                                                                                                    (16-5)

با جایگزینی (16-5) در (13-5) داریم.

                                                           (17-5)

آشکار است که این معادله با توجه به راستای بارگذاری خاص جوابهای ناپایدار می‌دهد زیرا ضرایب مشارکت اعمال شده به هر مؤلفة بردار[M]{Xj} در جهات x, y, z باید ضریب مشارکت متناظر همان جهت باشد و نه مجموع ضرایب مشارکت در تمامی جهات.

بردار{Er(s)} که توسط معادلة (6-5) تعریف می شود خطای مکانی در ارائه بارگذاری به علت کوتاه کردن پایه بردار می باشد. به علت آنکه{Er} یک بردار با مولفه‌های منفرد می باشد توسعه یک روش درک مستقیم برای مقدار بردار نیرویی که در محاسبات حذف شده است، مشکل می باشد.

دو پیشنهاد مختلف، که جهت پذیری بارگذاری را در نظر می گیرند، برای اندازه گیری خطا در ارائه بارگذاری به علت کوتاه شدگی پایه بردار ارائه خواهد شد.

3-5- تخمین‌های خطا با استفاده از مجموع بارهای ارائه شده

برای تحلیل زلزله، یک جرم مؤثر که متناظر با جزئی از کل جرم پاسخ دهنده به زلزله در هر مود می باشد به عنوان نمایانگر خوبی از مشارکت نسبی یک مود خاص در کل پاسخ سازه به طور معمول استفاده می گردد. یک بسط نمونه در جهت «X» هنگام استفاده از بردارهای ویژة دقیق و ارتونرمال نسبت به جرم، به عنوان بردارهای پایه، در زیر نشان داده شده است.

بارگذاری  {fx(s)}، که در جهتX   عمل می کند، به صورت زیر تعریف می شود.

{fx(s)}=[M]{rx}                                                                                                 (18-5)

در جایی که [M] ماتریس جرم و {rx} بردار تاثیر متناظر با تغییر مکان بدست آمده در هر درجة آزادی سازه به علت یک  تغییر مکان واحد در پایة ساختمان در جهت «X» می باشد. ضریب مشارکت مودی برای مود j به صورت زیر تعریف می شود.

                                                                                        (19-5)

کل جرم در جهت «X» توسط رابطه زیر داده می شود.

mxx={rx} T [M]{rx}                                                                          (20-5)

برای یک بردار پایة کوتاه شده که شامل r مود می باشد تطبیق mxx به صورت

                                                                                       (21-5)

انجام می گردد. مقدار متناظر با نسبتی از کل جرم، در جهت x، که توسط مشارکت مودی بردار ارائه شده می باشد و بسط کامل معادله (21-5) در کلاف و پنیزین یافت می شود. بنابراین مقدار مجموع توزیع مکانی بارگذاری در جهتX می باشد که توسط گروه مدی ارائه شده است. درصد کل جرم،، که باید در به منظور همگرایی رضایت بخش، باقی بماند به نوعی جای بحث دارد اما برای مثال دستورالعمل 2800 پیشنهاد می کند حداقل باید 90% استفاده گردد.

عمومی کردن این معیار برای توزیع مکانی بار دلخواه طبیعی می باشد. با استفاده از معادلة (3-5) با یک دسته بردار کوتاه شدة  وابسته به بار[Xr] برای نوشتن عبارتی شبیه به  و به فرم کامل و جمع‌بندی در جهتX  توسط پیش ضرب در{rx}T داریم.

                                                      (22-5)

مهم است به این نکته توجه کنیم که هنگام استفاده از روش بردارهای ریتز وابسته به بار معادلة (22-5) باید به جای معادلة (21-5) استفاده شود زیرا ضرایب مشارکت px,j و   □px,jکه از بردارهای ارتونرمال نسبت به [M] ، یعنی {Xj} ، یا بردارهای متعامد بر [M] و [K] ، یعنی {▫Xj} حاصل می شوند، متفاوتند و تنها جمع نهایی که در معادلة (22-5) داده می شود یکسان می باشد. بنابراین اگر از مجموع مجذور ضرایب مشارکت برای محاسبة سهم کل بار که توسط پایه ارائه می گردد، استفاده شود، جوابهای متفاوتی در صورت استفاده از پایه‌های منفرد [▫Xr] و حاصل می گردد. با در نظر گرفتن یک تحلیل عمومی سه بعدی، تخمین‌های خطا با استفاده از مجموع نیروهای ارائه شده به صورت زیر می گردد:

ex=({rx}T [M][Xr]([Xr]T{fx(s)}))/({rx}T{f(s)})*100                                   (23-5)

ey=({ry}T [M][Xr]([Xr]T{fy(s)}))/({ry}T{f(s)})*100                                   (24-5)

ez=({rz}T[M][Xr]([Xr]T{fz(s)}))/({rz}T{f(s)})*100                                     (25-5)

این معیار همچنین قابل بسط برای در نظرگیری ممان وارد شده بر بعضی درجات آزاد می‌باشد. تجربیات عددی روی سازه های ساختمانی کوچک نشان داده است که برای بارگذاری زلزله، معیار خطای بر اساس مجموع نیروهای ارائه شده، نوعی از همگرایی با افزایش یکنوا را نشان می‌دهد. مقدار ez و eyو ex بین 0 و 100 تغییر می‌کند و نشان ‌دهندة درصد نسبی از کل بار ارائه شده در حل به وسیله دستة بردار می باشد. برای نوع عمومی تر بارهای دینامیکی، معیار خطا بر مبنای مجموع نیروهای ارائه شده لزوماً همگرایی یکنوا را نشان نخواهد داد و مقادیر منفی و نیز مقادیر متوسط و بزرگتر از 100 نیز امکان پذیر می باشد.

4-5- تخمین خطا بر اساس معیار اقلیدسی بردار خطای نیرو

فرمول بندی‌های دیگری برای اندازه گیری مقدار نسبی بار دینامیکی ارائه شده توسط پایة برداری که دارای مشخصات همگرایی مشابهی برای هر توزیع مکانی بار باشد مورد بررسی قرار گرفتند. این تخمین‌های خطای جدید باید از پتانسیل مشکل اولین تخمین خطا، که احتمال داشت توقفی در مجموع یابی مانند آنکه نوسان‌های محلی، به علت تغییر علامت در نیروهای ارائه شده، کاملاً در اندیسهای  ez و eyو ex پیش آید مبرا باشند.

پس از تجربیات عددی، با به کارگیری استراتژی‌های گوناگون مشاهده شد که معیار  بردار خطای نیرو بر مبنای معیار اقلیدسی) (به صورت زیر نوشته می شود.

                                                                       (26-5)

                                                      (27-5)

مشخصات همگرایی مشاهده شده برای بارگذاری زلزله مشابه معیار خطای بر مبنای مجموع بردارهای ارائه شده، می باشد که هر مقدار، اندکی محافظه کارانه‌تر می باشد. برای توزیع مکانی عمومی‌تر بار دینامیکی از تجربیات عددی مشاهده شده است که:

- معیار خطای بر مبنای معادلة (26-5) محافظه کارانه تر از فرم ساده تر که با رابطة زیر مشخص شده می باشد.

- که هر چند بعضی نوسانات در هنگام اضافه کردن چند بردار اول به حل ممکن می‌باشد، معیار خطای  تمایل بهتری نسبت به معیار ex برای نشان دادن همگرایی یکنوا نشان می‌دهد.

نمونه ای از این محاسبات در شکل )1-5( نشان داده شده است که در آن یک بار منفرد در بالای یک مدل تیر برشی با 7 درجه آزادی اعمال می‌گردد و تخمین‌های خطا به عنوان تابعی از بردارهای باقی مانده در تحلیل رسم شده‌اند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 1-5- مقایسه میزان خطا با در نظرگیری تعداد مختلف بردارهای ریتز

معادلة (26-5) برای یک جهت نمونه توسعه داده می شود، محاسبات مشابهی هم باید برای بدست آوردنe*y وe*z انجام شود. همچنین امکان دارد اندیسهای خطا برای بدست آوردن یک اندیس منفرد که ارائه کلی بار توسط پایه را منعکس می کند، با هم ترکیب گردند.

                 (28-5)

در معادلة (28-5) به طور ضمنی فرض شده که تمامی بردارهای بارگذاری تنها تابعی از فضا می باشند. اندیس منفرد بنابراین بر مبنای مقایسة طول بردار بارگذاری که در تحلیل ارائه نشده نسبت به طول کل بردار بار می باشد

عنصر اصلی دو معیاری که ارائه شده اند بردار{fr(s)} برابر نسبی از کل بار می باشد که می تواند از پایة کوتاه شده همانطور که در معادله (13-5) داده شده است بدست آید. مشاهدة جهتی مقادیر  و در هنگام تولید بردارهای ریتز وابسته به بار را می توان به کار گرفت و تنها عملیات عددی کمی لازم می باشد به علت آنکه حاصل ضرب[M]{xj} ، که برای بدست آوردن {fr(s)}مورد نیاز است، در هر صورت به عنوان قسمتی از محاسبات برداری باید محاسبه شود.

مقدار مناسبی از e یا e* را سپس می توان به عنوان معیار توقف (cut-off) برای توقف تولید بردارهای جدید به کار برد. باید به خاطر داشت، هر چند تخمین رفتار خالص سیستم با استفاده از تعداد کمی بردارهای ریتز وابسته به بار امکان پذیر است، برای کاربردهای عملی اهمیت نیروها و تنشها نسبت به تغییر مکانهای کلی سیستم بیشتر می باشد. دورانهای انتهای اعضا، نیروهای محوری و ممانهای خمشی که وابسته به تغییر مکانهای دیفرانسیلی می باشد ممکن است با خطای بارگذاری و بازیافت تنش نامناسب همراه باشند. ارزیابی کارایی این شمای عددی بنابراین باید با توجه به هر دو جنبة همگرایی تنش و تغییر مکان قضاوت شود.

5-5- روشهای جمع‌بندی برای آنالیز برهم نهی مستقیم بردار

برای اکثر تحلیلهای دینامیکی مدهای بالاتر معمولاً مشخصه‌های محلی می باشند و مشارکت آنها در پاسخ سازه قابل صرف نظر کردن می باشد. هر چند، اگر بار مؤلفه‌های قابل توجهی در بسط مولفه های مودی داشته باشد، ممکن است این مدهای بالاتر برای بازیابی تنش لازم  باشند. پاسخ دقیق به بردار بار باقی مانده{Er(s)} در معادلة (6-5) با استفاده از یک دسته بردار کوتاه شده به صورت زیر نوشته می شود.

              (29-5)

که در اینجا بیانگر پاسخ سیستم به مؤلفه ای از بار می باشد که توسط پایه بردار نشاندهندة بار نادیده گرفته می شود. این تغییر مکان باید به پاسخ ناشی از برهم نهی بردارهای کوتاه شده، اضافه گردد تا جوابهای درستی بدست آید.

1-5-5- روش تصحیح استاتیکی

با فرض آنکه مدهای با فرکانس به طور قابل توجه بزرگتر از فرکانس بار اعمالی، به حالت استاتیکی پاسخ خواهند داد، این امکان وجود دارد که برای در نظرگیری انعطاف پذیری مدهایی که در مجموع یابی مدهای تغییر مکان حفظ شده اند از یک تحلیل شبه استاتیکی استفاده نماییم. در معادلة (29-5) شتاب و سرعت را برای تمام زمانها صفر قرار می دهیم خواهیم داشت.

                                                                (30-5)

پاسخ کلی سیستم با استفاده از تصحیح استاتیکی برای مدهای بالاتر خواهد شد.

                                     (31-5)

فرکانسهای طبیعی سازه ای که قرار است تحلیل گردد،  ، در مقایسه با محتوای فرکانس بارگذاری،  ، در مؤثر بودن روش تصحیح استاتیکی نقش کلیدی دارد. همانگونه که در شکل 2-3 اشاره شده بود فرض آنکه قسمت استاتیکی پاسخ در مدهای بالاتر، تقریب خوبی از پاسخ دینامیکی می باشد تنها برای نسبتهای بزرگ فرکانس مناسب می باشد. هنگامی که نسبت فرکانس به سمت 1 حرکت می کند این تقریب با تردیدهایی همراه خواهد بود و برای  کوچکتر از 0.6 تصحیح استاتیکی بر مبنای معادله
(31-5) تایج بسیار ضعیفی ارائه می دهد و حتی بهتر است کلا تصحیح انجام نگردد، به این دلیل که روش تصحیح استاتیکی همیشه برای بارگذاریهایی بسیار مؤثر می باشد که محتوای فرکانس آنها بطور خوبی پایینتر از فرکانسهای سازه باشد مانند امواج دریا بر روی سازه‌های دریایی، اما همیشه برای زلزله که محتوای فرکانس پهنای وسیعی دارد و می تواند در نواحی فرکانس بالای سازه هم بسط پیدا کند، به این کارآمدی نمی باشد.

2-5-5- روش شتاب مدی

گونه ای از روش تصحیح استاتیکی به نام شتاب مدی نیز به طور گسترده ای برای در نظرگیری اثر مدهای بالاتر در حل برهم نهی برداری به کار گرفته شده است. فرمولی که در اینجا استخراج شده است گونه ای محاسباتی بوده که می توان نشان داد هم ارز روش کلاسیک که به طور صریح با مؤلفه‌های شتاب و سرعت کلی برخورد می کند می باشد. مدهای  و i=r+1,...,n را در نظر بگیرید که در جمع بندی منظور نشده اند، با استفاده از روش شبه استاتیکی داریم.

                                                             (32-))

که در نتیجه بدست می آوریم.

                                                                (33-5)

با بازگشت به مختصات هندسی

                                                  (34-5)

که اولین عبارت در این مجموع‌ها به روش معمول مودی اشاره دارد و عبارت دوم بیانگر تصحیح استاتیکی می باشد.

با جایگزینی (33-5) در (34-5) داریم.

                                                           (35-5)

                           (36-5)

که {f} تابع مکان و {U} و yi وg تابع زمان می باشند. با استفاده از تعامد نسبت به سختی بردارهای انتقال  که به صورت زیر نوشته می شود.

                                                                      (37-5)

عبارت دوم مجموع در معادلة (36-5) برابر خواهد بود با [K-1]{f(s)} زیرا

                                                                                 (38-5)

معادله 3.36 را می توان به این صورت نوشت.

                                      (39-5)

                                      (40-5)

                                                 (41-5)

که Kr بسط کاهش یافته از ماتریس سختی با استفاده از r بردار کاهش یافته می باشد.

3-5-5- مقایسة روشهای تصحیح استاتیکی، شتاب مودی و بردارهای ریتز وابسته به بار

مقایسة میان این سه روش به راحتی با توجه به تکنیک جمع برداری استفاده شده برای بدست آوردن پاسخ کلی قابل انجام است.

روش تصحیح استاتیکی

                                   (42-5)

روش شتاب مودی

                                   (43-5)

WYD Ritz

                                            (44-5)

که

                                         (45-5)

در هر کدام از دو روش اول جمع بندی بردار {f(s)} کامل چه به طریق استاتیکی در عبارت دوم مجموع و چه به طریق دینامیکی در عبارت اول مجموع به حساب آمده است. با مشاهدة معادلة (44-5) هنگامی که بردارهای ریتز WYD تنها متعامد بر جرم {Xi} در یک تحلیل مستقیم برهم نهی برداری استفاده می شوند. عبارت اول نظیر حل استاتیکی، می باشد که ضریب مقیاس مناسب به آن اعمال شده است و بردارهای دیگر بیانگر مشارکت دینامیکی می باشند که توسط حل استاتیکی نادیده گرفته شده است. مکانیسم تولید بردارهای ریتز WYD محتوای طبیعی بردار آغازین را در میان تمام بردارهای مبنا پخش می نماید که گویی تصحیح استاتیکی برای اثر مدهای بالاتر به صورت خودکار در فرمول بندی داخل شده است که تاثیر آن در بردار اول مشهودتر است. از آنجایی که بردارهای ریتز WYD می توانند به ارائه مناسبی از بارگذاری با تعداد کمی بردار منجر شوند قابل اعتمادتر خواهد بود، اگر مزیت تصحیح استاتیکی محقق نگردد، که از معیار خطا برای وارد نمودن تعداد کافی بردار دینامیکی در یک آنالیز معمول برهم نهی مدی، برای بدست آوردن ارائه مناسب بارگذاری استفاده گردد.

این توضیح برای بردارهای ریتز متعامد بر جرم و سختی، {▫Xi} نیز صادق می باشد. زیرا نشان داده شد که بردار باقیماندة خطای نیرو در صورت استفاده از {▫Xi}یا {Xi}یکسان خواهد بود.

پس از آنکه مطمئن شدیم پایة برداری قادر به ارائه صحیحی از توزیع مکانی بارگذاری می باشد، ممکن است علاقه داشته باشیم که کنترل نماییم آیا فرکانسهای تقریبی محاسبه شده، از مساله ویژه کاهش یافته، به طور کافی محدودة فرکانس بارگذاری اعمال شده را ،برای رسیدن به یک حل مؤثر در بر می گیرد یا خیر؟ برای بارگذاری‌های با محتوای فرکانسی موجود در یک باند باریک در شروع طیف ویژة سازه ای، تصحیح استاتیکی موجود در تکنیک ریتز بسیار مؤثر خواهد بود و این امکان وجود دارد که حتی با ارائه ضعیف و نامناسب مبنای کاهش یافته جوابهای درستی بدست آید. هر چند برای تحلیل گر سخت تر است که از جوابهای حاصل از جمع بندی راضی گردد.

6-5- رابطه میان بردارهای ریتز WYD و حل مقدار ویژة دقیق

هر چند هدف اولیة روش بردارهای ریتز WYD بدست آوردن یک حل درست ارتعاش آزاد مسألة ویژه نمی باشد اما ممکن است  جالب باشد تا مرزهای خطایی بر مبنای فرکانسهای سازه ای بدست آمده از بردارهای ریتز توسعه دهیم.

اولین رهیافت شامل برآورد جفت ویژة  و جایگزین آن در مساله ویژة اصلی می باشد معیار خطایی که با روابط زیر داده می شود.

                                                                    (46-5)

را می توان برای این منظور استفاده نمود. از نظر فیزیکی  بیانگر نیروهای گرهی متمرکز استاتیکی و  بیانگر نیروهای متمرکز گرهی ناشی از اینرسی در هنگامی که مدل FEM در حال ارتعاش در مد{▫Xj}  است، می باشد. معادلة (46-5) نرم نیروهای گرهی خارج از تعادل تقسیم بر نرم نیروهای الاستیک می باشد. مقدار  باید کوچک باشد اگر  و حل درستی از جفت ویژه باشند.

در اصل این امکان وجود دارد که مقدار تقریبی جفت ویژه و از حل سیستم ماتریسی کاهش یافته در هر مرحله از الگوریتم محاسبه گردد و معادلة (46-5) برای بررسی صحت حل ویژه با استفاده از بردارهای ریتز WYD در آن گام حل گردد. هر چند اگر الگوریتم بردارهای ریتز WYD با محاسبة فرم کاهش یافته سه قطری به صورت  به طور مستقیم به کار گرفته شود رهیافت ساده تری امکان پذیر می باشد.

عناصر خارج از قطر [Tr] به صورت خودکار پارامتری برای مرز خطای مقادیر ویژه استخراج شده فراهم می نمایند. به طور ویژه برای مساله ویژه عمومی شده در دینامیک سازه‌ها مرز خطای مطلق برای هر ریشة تقریبی  از نامساوی زیر قابل دستیابی می باشد.

                                                                        (47-5)

که در اینجا br+1 المان بعدی خارج از قطر [Tr] محاسبه شده از بردار {Xr} و Zr,j المان آخر بردار ویژة نرمال شده به صورتی که {Zj}T{Zj}=1  باشد، متناظر با j، ریشة بدست آمده از حل سیستم سه قطری کاهش یافته می باشد.

باید توجه شود که اگر حل ویژه درست تری از مدهای ارائه شده در محتوای طیفی بردار آغازین مد نظر باشد ترکیبی از روش کاهش ریتز WYD و تکرار زیر فضا ممکن است الگوریتم بسیار کارایی تشکیل دهند. در تکرار زیر فضا صحت توسط تحلیل گر تعیین می گردد بنابراین نیاز به روش تکراری وجود دارد. جزئیات این روش در شکل 2-5 موجود است.

شکل 2-5- الگوریتم ترکیب بردارهای ریتز وابسته به بار و تکرار زیر فضا برای حل مساله ویژه عمومی

1) ماتریسهای جرم و سختی و بردار نیرو

                               سایز سیستم

2) مثلثی کردن ماتریس سختی

                سیستم

3) استفاده از روش بردارهای ریتز وابسته به بار برای مقداردهی اولیه تکرار زیر فضا.

R بردار آغازین در ماتریس [X]1 تشکیل دهید به اندازه r*n (با استفاده از روش ریتز) تعداد بردارهای تکرار r بزرگتر از تعداد مقادیر ویژه خواسته شده انتخاب می‌گردد.

4) انجام محاسبات تکرار زیر فضا:

(a محاسبه مشارکت اینرسی

(b تصویر کردن ماتریسهای [K] , [M] روی زیر فضای K+1

(c سیستم ویژه کاهش یافته شرا حل نمایید.

(d محاسبه تقریب بهبود یافته از بردارهای ویژه 

(e کنترل همگرایی

متعامدسازی نسبت به سختی بردارهای ریتز وابسته به بار، از طریق حل مساله ویژه، شکل (1-3)، در حقیقت متناظر با یک چرخه از روند تکرار زیر فضا می باشد. با قراردادن k=0 ، الگوریتم 2-5 که بردارهای  ریتز وابسته به بار و تکرار زیر فضا را ترکیب می کند در گام 4.b) آغاز می گردد. تصویر ماتریسهای [K],[M] بر زیر فضای E1، با استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار توسط الگوریتم اصلی (شکل 1-3) به عنوان بردارهای انتقال [X] ساخته می شود. هیچ کنترلی در مورد همگرایی صورت نمی گیرد زیرا مساله تنها یک بار حل می گردد. اگر تقریب نزدیک تری از طیف ویژه لازم باشد می توان روند تکراری را با انجام سیکلهای بیشتر تکرار زیر فضا ادامه داد.