آنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی مودال (MPA)

آنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی مودال (MPA)

 

بخش اول:

آنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی (POA)

     مقدمه

به عنوان قسمتی از هر برآورد لرزه ای یا طراحی لرزه ای، مهندس طراح باید تحلیلی از سازه با در نظر گیری خطر لرزه ای در محل ساختمان، برای برآورد کمیت‌های پاسخ سازه انجام دهد. این پاسخ ها اگر در حدود پاسخ مجاز سازه قرار گیرد، قبول می گردند. در حالت کلی، تحلیل سازه شامل اثر دادن توزیع جانبی نیروهای زلزله به علاوه نیروهای ثقلی بر یک مدل ریاضی از سازه می باشد. روشهای تحلیل سازه با توجه به این مطلب که مدل ریاضی خطی یا غیرخطی می باشند و یا اینکه نیروها، دینامیکی و استاتیکی می باشند قابل تمایز می باشند. فرض اصلی در یک مدل ساختمان خطی آنست که المانهای ساختمان برای مثال تیرها و ستونها، دارای قدرت نامحدود و سختی ثابت در حین تحلیل می باشند. از طرف دیگر یک مدل غیرخطی سعی می کند کاهش مقاومت و سختی اعضا را در مدل ساختمان در هنگام خرابی در نظر بگیرد. در تحلیل استاتیکی، یک توزیع فرضی نیروهای زلزله به ساختمان اعمال می‌گردد. بنابراین، این نوع تحلیل ،پاسخ های متغیر با زمان سازه را که در تحلیل دینامیکی منظور می شوند، در نظر نمی گیرد. روش های تحلیل سازه به روشهای زیر تقسیم بندی می شوند (ATC،1997)، استاتیکی خطی (LS) دینامیکی خطی (LD)، استاتیکی غیرخطی (NS)، دینامیکی غیرخطی (ND).

به خاطر فرضیات موجود در به کارگیری روش خطی فرض می شود (ND) روش دقیق است و سایر روشها، روشهای تقریبی می باشند.

تا این اواخر آیین نامه های طراحی ساختمانهای جدید بیشتر بر روی روشهای تحلیل خطی تمرکز کرده اند. دلیل آنکه به روشهای غیرخطی کمتر پرداخته شده آنستکه روشهای غیرخطی برای امر طراحی بسیار پیچیده می باشند. به علاوه این روشها نیازمند به کارگیری کامپیوترهای بسیار قدرتمند می باشد و نیز عدم قطعیتهایی نیز دارند.

ATC-40  بر روش NS برای برآورد لرزه ای تکیه می کند. FEMA 273/274 روشهای NS و ND را تحت پوشش قرار می دهد. در زمان حاضرآنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی، POA به عنوان یک روش کامپیوتری ساده شده برای برآورد عملکرد ساختمانها روز به روز اقبال بیشتری می یابد. این روش فرض می کند پاسخ سازه تنها با مد اول کنترل می شود و این مد در کل تاریخچه زمانی ثابت می‌ماند. مثالهای فراوانی نشان داده اند که حداکثر پاسخ سازه با این روش، بدون در نظر گیری مدهای بالاتر کمتر تخمین زده می شود و خطای قابل توجهی به خصوص برای سازه های با زمان تناوب بلند یا هنگامی که مکانیزمهای محلی تشکیل گردد (به علت تغییر خواص دینامیکی سازه) ایجاد می گردد. که محققین زیادی در این موردد تحقیق نموده اند(، Fajfar & Fishinger ،Faella 1981، Saiid & Sozen 1981 ،Fajfar & Gaspersic ، Rutenberg & Destefano 1997   Fajfar & Kilar) و نتایج برخی از این تحقیقات در ادامه ارائه خواهد شد. لازم به توضیح است کارآیی قابل قبول و سطح خطر زلزله به صورت زوج در آیین نامه های مربوطه تعریف شده‌اند.

 در سالهای اخیر، روش NS نسبت به ND با توجه بیشتری روبرو بوده است. که این لزوم بررسی صحت این روش را موجب می گردد.

2-1- پیدایش روش غیر خطی  استاتیکی

درسال 1975 فریمن (Freeman) وهمکارانش یک روش ارزیابی سریع بدست آوردند که درواقع مانند روش طیف ظرفیت امروزی می باشد.درسال 1981سیدوسوزن (Saiid & Sozen) یک روش آنالیز دینامیکی غیر خطی برروی یک سیستم یک درجه آزادی معادلSDOF پیشنهاد کردند.براساس این ایده فایفر وفیشینگر (Fajfar & Fischinger)در اواسط سال 1980 اولین نسخه از روش N2  بدست آوردند.(منظور ازN تحلیل غیر خطی و عدد 2 مدلهای ریاضی یک درجه ازادیFSDO وچنددرجه آزادی MDOF می‌باشد).

به هرحال جامعه مهندسی زلزله توجه زیادی به روشهای ساده غیرخطی تا اواسط سال1990 نداشتند .در روشهای ساده شده غیرخطی تحت عنوان روش طیف ظرفیت در آیین نامه های ATC 40 و ترای سرویسزTriservices، استاندارد ساختمان ژاپن ، روش آنالیز استاتیکی غیر خطی اعمال شده درFEMA273 وFEMA356، روش  N2اجرا شده در پیش نویس Eurocode 8 وآنالیز Pushover مودال تفاوتهای بسیاری دیده می شود و نیزچندین روش غیر خطی در کتاب آبیSEAOC اجرا شده است.تمام روشهای موجود آنالیزPushover یک مدل چند درجه‌آزادی را با آنالیز طیف پاسخ سیستم یک درجه آزادی معادل SDOF،ترکیب می کنندوطیف الاستیک وغیر الاستیک بر اساس یک میرایی معادل وپریود اعمال می شوند که در واقع طیف غیر الاستیک نقطه جاری شدن (تسلیم)را حاصل می کند.روشهای ارائه شده در آیین نامه FEMA روشهایی هستند که براساس فرمت شتاب– تغییر مکان (A-D) فرمول بندی شده اند.در این شکل ظرفیت سازه به طور مستقیم با تقاضای حرکت زمین در زلزله روی یک سازه مقایسه می شود.منحنی نیرو-تغییرمکان که توسط آنالیز استاتیکی غیر خطی به دست آمده است ، ظرفیت سازه را نشان می دهد.

نیروهای برش پایه وتغییر مکانهای بام به طیفهای شتاب وطیفهای تغییر مکان یک سیستم یک درجه آزادی معادل SDOF برگردانده می شوند که مقادیر این طیفها نمودار ظرفیت را تعریف می کند.مقادیر طیف لرزه ای تقاضا در بین روشهای متفاوت دارای محتوای مختلفی است .درتمام حالات، تقاطع منحنی ظرفیت وطیف تقاضا یک تخمینی ازشتاب غیر الاستیک(مقاومت) وتغییر مکان تقاضا را بدست می دهد.بنابراین بسیاری از  روشهای ساده شده به سمت طراحی براساس کنترل تغییرشکل (که طراحی براساس تغیرمکان نامیده میشود)سوق یافته ودرحال گسترش می باشند.تمام روشها براساس سازه های صفحه ای محدود می شوند که اخیرا فرضیاتی جهت توسعه وکاربردی کردن روشهای موجود برای سازه های نامتقارن با استفاده ازتحلیلهای سه بعدی3D انجام گرفته است وروشهای تحلیل استاتیکی غیر خطی جهت تعیین وتخمین پاسخ لرزه ای سازه های نامتقارن توسعه داده شده است.روشهای پیشنهاد شده در واقع شامل پاسخهای پیچشی ناشی از تاثیرات آنالیزهای سه بعدی این ساختمانهای نامتقارن می باشند که درفرم جدید این روشها با استفاده از آنالیزهای دینامیکی الاستیک ساختمانها ،جهت تعیین تغییر مکانهای هدف وشکل توزیع بار جانبی برای آنالیز استاتیکی غیر خطی استفاده می کنند.

3-1- فرضیات اساسی

تمام آنالیزها توسط برنامه هایی تحت عنوان برنامه های آنالیز اجزای محدود              FEAP(Finite Element Analysis Program)به صورت استاتیکی ودینامیکی غیر خطی انجام پذیر است.آنالیزهای فوق قابل تعمیم از حالت دوبعدی به حالت سه بعدی می باشند.نتایج آنالیز نسبت نیرو - تغییر شکل را برای تمام مقاطع در طول المان ونسبت تنش - کرنش را برای تمام نقاط مقطع المان نشان میدهد.فرضیات بنیادین در آنالیز استاتیکی غیر خطی فزاینده شامل موارد زیر می باشد (بحث تکمیلی موارد 1 تا 4 در بخشهای بعدی ارایه خواهد شد):

1-3-1- کنترل بر اساس نیرو یا تغییرمکان Displacment Control  Force vs.

آنالیز مورد نظر قابل انجام در دوحالت زیر می باشد:

الف- یک توزیع تغییر مکان افقی               

ب- یک توزیع نیروی افقی            

درحالتی که یک نوع توزیع تغییر مکان افقی وجود دارد، سازه  متحمل یک نوع تغییر فرم از پیش تعیین شده می گردد که باید تفاوت مناسبی با فرم طبیعی سازه داشته باشد،به خصوص زمانی که اجزای سازه منجمله قابها وارد ناحیه پلاستیک می شود.

2-3-1- الگوهای بارگذاری Pattern Shape     Load     

بارهای جانبی اعمال شده به هر کف در هنگام آنالیز استاتیکی غیرخطی می تواند تاثیر قابل ملاحظه ای در پیش بینی سیستم و نیروهای المانها داشته باشد. این الگوی بارگذاری جانبی باید به گونه ای باشد که نشان دهنده نیروهای اینرسی موجود بر سازه در هنگام زلزله باشد. الگوهای بارگذاری جانبی به دو دسته ثابت و متغیر تقسیم می‌گردند. در مورد الگوی بارگذاری جانبی ثابت، فرض می شود نیروهای اینرسی در هنگام پاسخ سازه به زلزله ثابت می مانند. این نوع بارگذاری قابلیت به حساب آوردن تغییرات توزیع نیروی جانبی سازه را به علت تغییر سختی، ناشی از رفتار غیر خطی را ندارد. از آنجایی که توزیع رفتار غیرخطی بسته به الگوی بار ممکن است تغییر کند، پیشنهاد شده است که چند توزیع در هنگام انجام آنالیز در نظر گرفته شود.

برای بارگذاری می توان روشهای مختلفی استفاده نمود سه نوع روش معمول عبارتند از:

اشکال مختلف توزیع بار

الف- شکل توزیع نیرو به صورت مثلثی معکوس

ب- شکل توزیع یکنواخت

ج- شکل توزیع نیرو با در نظرگیری مدهای بالاتر                               

با توجه به نتایج حاصل از آنالیزهای مختلف استاتیکی غیر خطی افزاینده مشخص شده است این بارگذاریها برای انواع خاصی از سازه ها جوابهای مناسبی بدست می دهند و قابل کاربرد برای تمامی انواع سازه ها نمی باشند.

همانطوریکه اشاره شد برای بارگذاری حالات گوناگون و متعددی وجود دارد و بنا بر فلسفه اولیه تحلیل فزاینده استاتیکی غیرخطی (در نظر گیری مد اول) باید برای رسیدن به درک درستی از رفتار لرزه ای سازه حداقل 2 توزیع متفاوت در نظر گرفته شود برای مثال مطابق آیین نامه FEMA 356 داریم:

I) الگوی مدی

الف) در صورتی که مشارکت جرمی در مد اول بیشتر از 75% باشد از توزیع Cvx به صورت زیر می توان استفاده نمود.

 Kبین این دو عدد به صورت خطی تغییر می کند.

ب) یک توزیع قائم متناسب با شکل مد پایه (مد اول) در جهت مورد بررسی (تنها در هنگامی که مشارکت جرمی بیشتر از 75% باشد).

ج) یک توزیع قائم با در نظر گیری ترکیب برش مدی حاصل از تحلیل طیف پاسخ که تعداد مد به گونه ای انتخاب شده باشد که حداقل 90% مشارکت جرمی حاصل شده باشد. این توزیع زمانی استفاده می گردد که تناوب مد اول از Sec1 بیشتر باشد.

II) الگوی دوم (یکی از دو صورت زیر استفاده شود)

الف)یک توزیع یکنواخت که شامل نیرویی متناسب با جرم در هر تراز می باشد.

ب) توزیع سازگار شونده که با توجه به تغییر شکل سازه تغییر می یابد. این توزیع بار با در نظرگیری خواص تسلیم سازه باید اصلاح شود.

انواع توزیع بار پیشنهادی:

الگوی A:                                                                                                    

الگوی B:

الگوی C:(الگوی مدی)

الگوی D:

توضیح الگوی D:

بعد از انجام آنالیز مد اول برش طبقات به واسطه روش SRSS قابل محاسبه می‌باشد اگر فرض کنیم Fij و Qij به عنوان نیروی جانبی و برش طبقه i در مد  jام باشند و Qi برش طبقه i حاصل از SRSS، N مد می‌توانیم برای محاسبه Pi (نیروی جانبی معادل) روابط عنوان شده را به کار بریم.

 ضریب تاثیر افقی زلزله طبق آیین نامه چین می باشد.

 ضریب مشارکت مدی می باشد.

Xij تغییر مکان نسبی افقی طبقه نامتناظر با مد j است.

Wi نیز وزن طبقه iام می باشد.

بنا بر مطالعات انجام شده این روش نسبت به روشهای قبلی جوابهای بهتری ارایه می دهد.

لازم به توضیح است علی رغم تمامی تلاشهای صورت گرفته و بهبودهای نسبی هنوز هم مشکلات این روش به جای خود باقی می باشند. اخیراً توسط Chopra و Goel روشی ارائه شده است که به نام MPA یا  Modal Pushover Analysisشناخته می‌شود در ادامه به آن خواهیم پرداخت.

3-3-1- تبدیل سازه چنددرجه آزادیMDOF به سازه یک درجه آزادی معادلSDOF

تبدیل سازه چنددرجه آزادی به سازه یک درجه آزادی معادل

فرمول بندی سیستم تک درجه آزادی منحصر به فرد نمی باشد اما روشهای زیادی بر مبنای بردار شکل و معادله تعادل دینامیکی شکل گرفته اند. معادله دیفرانسیل حاکم بر سازه چند درجه آزادی عبارتست از:

                                                               (1)

که [M] ماتریس جرم، [C] ماتریس میرایی، {X} بردار تغییر مکان نسبی، {Q} نیروی طبقه و  تاریخچه شتاب حرکت زمین می باشد.

اگر بردار شکل {} را نسبت به جابجایی بام xt نرمال کنیم داریم.

                                                                                          (2)

با جاگذاری در معادله 1

                                                    (3)

اگر تغییر مکان مرجع تک درجه آزادی را xr بنامیم.

                                                                                      (4)

با پیش ضرب معادله (3) را در  و با جایگزینی xt از معادله (4) معادله حاکم عبارت خواهد بوداز:

                                                                             (5)

که داریم. [FEMA (1998)]

                                                                                             (6)

                                                                                                   (7)

                                                         (8)

تناوب اولیه سیستم تک درجه آزادی (Teq) به صورت زیر قابل محاسبه می باشد.

                                                                                                    (9)

که Kr سختی الاستیک سیستم تک درجه آزادی معادل می باشد.

ارتباط نیرو- تغییر مکان در سیستم تک درجه آزادی معادل از نتایج NSP یک ساختمان چند درجه آزادی با توجه به بردار شکل محاسبه شده در بالا قابل محاسبه می باشد. برای تشخیص قدرت و تغییر مکان کلی یک رابطه چند خطی به صورت رابطه ای دو خطی ارائه می گردد.

به عنوان راهنما روابط میان نیرو در مقابل تغییر مکان برای سیستم MDF و سیستم معادل SDF در شکل ارائه شده اند.

 

 

 

 

 

 

 

 ایده آل سازی دوخطی

 

 

 

 

 

FEMA 273

 

 

 

FEMA 356

نیروی برش پایه در تسلیم (Vy) و تغییر مکان معادل بام (xt,y) از شکل فوق به همراه معادلات 3و4 به منظور محاسبه رابطه نیرو- تغییر مکان سیستم SDF معادل به صورت زیر به کار می روند.

تناوب اولیه سیستم تک درجه آزادی معادل (Teq) به صورت زیر بیان می شود.

                                                                                            (10)

در جایی که  برای سیستم SDF مرجع به صورت زیر محاسبه می گردد.

                                                                       (11)

و نیروی تسلیم سیستم مرجع SDF به صورت زیر محاسبه می گردد.

                                                                                                  (12)

که {Qy} نیروی طبقه در هنگام تسلیم می باشد.

 ، برابر در سیستم چند درجه آزادی فرض می شود.

4-3-1- تغییر مکان هدف

همانطوریکه عنوان شد صحت روش POA وابستگی زیادی به توزیع بار و تغییر مکان هدف معرفی شده دارد در این قسمت به روشهای پیشنهادی برای بدست آوردن تغییر مکان هدف می پردازیم.

با استفاده از اطلاعات بالا می توان تغییر مکان هدف را بدست آورد. در حقیقت استفاده از خصوصیات سیستم تک درجه آزادی به همراه اطلاعات طیف مربوط به سیستمهای یک درجه آزادی غیرالاستیک، اطلاعات لازم برای تخمین تغییر مکان هدف را بدست می دهد.

برای سیستمهای الاستیک تغییر مکان طیفی از رابطه زیر قابل محاسبه می باشد.

اما تغییر مکان سیستمهای غیرخطی متفاوت است (شکل زیر). در محدوده تناوب کم، نسبت تغییر مکان غیرالاستیک به الاستیک قویاً به نیاز تغییر مکان غیرالاستیک سیستم بستگی دارد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

رابطه بین R و C1

رابطه میان نسبت شکل پذیری و نسبت تقاضای قدرت الاستیک به غیرالاستیک توسط روابط ارائه شده توسط میراندا و برترو 1994 قابل بیان می باشد.

بنابراین برای محاسبه تغییر مکان هدف تقاضای شکل پذیری سیستم SDF باید محاسبه گردد. داریم:

                                                                                   (14)

رابطه 14 بیانگر پاسخ یک سیستم SDF با جرم واحد و تناوب Teq و قدرت تسلیم Fy,eq که به صورت زیر بیان می گردد، می باشد.

                                                                                                         (15)

اگر طیف الاستیک معلوم باشد داریم:

                                                                                                    (16)

پس می توانیم فاکتور کاهش مقاومت R را به صورت زیر محاسبه کنیم.

                                                                                      (17)

حال می توانیم با توجه به روابط منتشر شده میان  نیاز شکل پذیری سیستم را بدست آوریم. به این نکته توجه شود که روابط منتشر شده حاوی مقادیر میانگین می باشند و برای بدست آوردن  برای سیستمهای مهم بهتر است از میانگین به علاوه یک انحراف معیار استاندارد استفاده نماییم.

به علت آنکه  برای سیستم SDF و MDF یکسان فرض می شود مقدار تغییر مکان هدف MDF برابر خواهد بود با (xt,t):

ممکن است اصلاحات بیشتری نیز به علت در نظر گیری اثر خاک محلی، تاثیرات کاهش سختی و مقاومت، تاثیرات مرتبه دوم و… برای تغییر مکان هدف لازم باشد.

دو کمیت کلیدی برای محاسبه تغییر مکان هدف عبارتند از Fy,Teq این کمیات وابسته به بردار شکل و نیرو و توزیع جرم در ارتفاع می باشند. اما مطالعات نشان داده است که فرضیات زیر صحت مناسبی دارند.

       Teq=T1

صحت این فرضیات برای سازه ای با توزیع بار مثلثی و جرم مساوی طبقات و بردارهای شکل متفاوت نشان داده شده است. این مطالعات نشان داده اند که Teq و Fy,eq به انتخاب بردار شکل حساس نمی باشد.

 

 

 

 

 

 

 

بردارهای شکل استفاده شده در مطالعه حساسیت

 

 

 

حساسیت به بردار شکل انتخاب شده

در روش دیگر منحنیهای ظرفیت حاصل از سیستمهای یک درجه آزادی را می توان توسط منحنیهای دو خطی تقریب زد .منحنی ظرفیت دوخطی سیستم یک درجه آزادی توسط یک خط که در تراز85.0برابر نیروی ماکزیمم به صورت افقی رسم شده قابل محاسبه خواهد بود.

 

در مجموع چون در اینجا هدف ما بررسی این مطلب نمی باشد لذا برای سایرروشهامی‌توان به دستورالعمل بهسازی لرزه ای و تفسیر آن، همچنین به استاندارد FEMA273 و تفسیر آن مراجعه نمود.

5-3-1- حداکثر شتاب زمین 

بر اساس منحنی ظرفیت دوخطی حاصل از پاسخ سازه (تغییر مکان – برش پایه)،GAP قابل ارزیابی خواهدبود.

که دررابطه فوق Fmax  حداکثر برش پایه سازه ، eff  m جرم موثر سازه ،  شکل پذیری ارزیابی شده براساس منحنی دوخطی حاصل از اولین مکانیزم شکست (طبقه نرم،کاهش ظرفیت شکل پذیر در ستون ، شکست برشی ستون یا شکست اتصال تیر به ستون )، (T) a S شتاب طیفی مطابق با پریود بنیادیT تعیین شده براساس سختی الاستیک اولیه .

شتاب ظرفیتCapacity Accelerationدر رابطه فوق باید با شتاب تقاضاDemand  Accelerationتعیین شده براساس مطالعات خطر(تحلیل ریسک سایت مورد نظر)Hazard Analysis درمحل مقایسه شود.

درکل با توجه به مطالب عنوان شده می توان گفت POA پایه تئوری سختی ندارد فرضیات اصلی آن عبارتند از:

1) پاسخ سازه را می توان به پاسخ سیستم یک درجه آزادی معادل مربوط نمود. که این بدان مفهوم است که پاسخ توسط یک مد کنترل می شود.

2) بردار شکل  در کل پاسخ تاریخچه زمانی ثابت می ماند.

به وضوح هر دو فرض ذکر شده نادرست می باشند. اما مطالعاتی که توسط چندین محقق انجام شده است نشان می دهد که این فرضیات،ما را به سوی تخمین خوبی از پاسخ حداکثر لرزه ای سیستم چند درجه آزادی راهنمایی می کنند.

4-1- روش آنالیز استاتیکی غیرخطی

انجام یک تحلیل استاتیکی غیرخطی نیازمند آنست که یک مدل ریاضی غیرخطی تحت بارهای افزاینده جانبی قرار گیرد تا به یک «تغییر مکان هدف» برسیم. که این تغییر مکان حداکثر تغییر مکانی است که انتظار داریم در زمان زلزله در بام ساختمان رخ دهد. بار جانبی به صورت افزاینده اعمال می شوند و بعد از هر افزایش بار، سختی و مقاومت المانهای سازه به روز آوری می گردند. برش پایه در مقابل تغییر مکان بام که به نام (منحنی ظرفیت) شناخته می شود، نتیجه اصلی تحلیل NS می باشد زیرا نشان دهنده کارایی کلی ساختمان می باشد. از تحلیل فزاینده استاتیکی غیرخطی، نیازهای نیرویی و تغییر مکانی در هنگام تغییر مکان هدف برآورد می شوند و در مقابل نیرو و تغییر مکان مجاز سنجیده می شوند.

5-1- روش گام به گام در محاسبه منحنی ظرفیت با استفاده از آنالیز فزاینده استاتیکی غیرخطی

قبل از آنکه روش گام به گام را ذکر کنیم لازم به توضیح است که ما در طراحی براساس عملکرد با دو عنصر کلیدی ظرفیت و تقاضا سر و کار داریم. ظرفیت قابلیت ایستادگی سازه در مقابل تقاضای لرزه ای می‌باشد.

روش های ساده شده ای که از تحلیل استاتیکی فزاینده غیرخطی استفاده می‌کنند مانند روش طیف ظرفیت، و روش ضریب تغییر مکان نیازمند مشخص بودن سه عنصر اصلی می باشند.

1) ظرفیت

2) تقاضا

3) عملکرد

که در این قسمت هدف ما بدست آوردن ظرفیت با روش آنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی می باشد.

1-5-1- روش گام به گام محاسبه منحنی ظرفیت

ظرفیت سازه توسط یک منحنی فزاینده بدست می آید. مناسب ترین روش برای رسم نمودار نیرو- تغییر مکان ردیابی برش پایه در مقابل جابجایی بام می باشد.

 

بعضی برنامه های کامپیوتری مانند DRAIN-2DX و DRAIN-3D-X و SAP2000 و ETABS2000 قابلیت انجام مستقیم این تحلیل را دارند اما وقتی از برنامه ای خطی استفاده می کنیم ممکن است روندی مثل روند زیر در نظر گرفته شود.

توجه:

منحنی ظرفیت معمولاً به گونه ای ساخته می شود که نشانگر پاسخ مد اول سازه باشد (با این فرض که مد پایه پاسخ غالب سازه می باشد). این در حالت کلی برای سازه هایی که تناوب پایه تا حدود Sec1 دارند درست می باشد. در سازه های با تناوب طبیعی بزرگتر از Sec1 باید اثر مدهای بالاتر هم دیده شود.

1) با توجه به قواعد مدلسازی مدلی از سازه (با پی یا بدون پی) بسازید.تمامی اجزایی که دارای تاثیر قابل توجه در سختی ، مقاومت،وزن و پایداری می باشند باید در مدل منظور شوند.

2) المانهای موجود در مدل را دسته بندی کنید (اصلی و فرعی).

3) بار جانبی را به سازه اعمال نمایید. لازم است بارهای ثقلی نیز در نظر گرفته شوند.

روش استاتیکی غیر خطی به فرمهای گوناگونی با متدولوژی های گوناگون ارائه شده است
(Seneviranta & Krawinkler 1994,Moehle 1992). همانگونه که از نام آن بر می آید روندی است که در طی آن سازه با حالت از پیش تعریف شده بارگذاری به صورت افقی هول داده می شود، تا به تدریج سازه به وضعیتی حدی برسد. تنوع زیادی در روش های بارگذاری جانبی وجود دارد که در زیر به تعدادی از آنها اشاره می گردد.

الف) تنها یک بار متمرکز افقی به بالای سازه اعمال شود (معمولاً برای سازه‌های یک درجه آزادی)

ب) بارگذاری بر روی هر طبقه با توجه به روند موجود در آیین نامه ها انجام گردد.

یا

ج) اعمال بارهای جانبی به صورت سازگار با حالت مد اول به صورت حاصل ضرب جرم و شکل مدی مد اول الاستیک سازه . معمولاً منحنی ظرفیت به گونه ای بدست می آید که اثر این مد (مد اول) را ارائه نماید. این در حالت کلی برای سازه های با تناوب پایه کمتر از Sec1 قابل اعمال است. (روش پایه)

د) در این حالت مانند حالت (ج) عمل می کنیم برای هر افزایشی در ورای تسلیم، نیرو به گونه ای تنظیم شود که سازگار با شکل تغییر یافته باشد. (معمولاً برای سازه‌های با طبقات ضعیف)

هـ) مانند (ج‌ود) اما به منظور نمودن تاثیر مدهای بالاتر (بارها را با توجه به اشکال مدی مدهای بالاتر بر سازه اعمال می کنیم) برای مدهای بالاتر، سازه همزمان هول داده می شود و یا کشیده می گردد.

لازم است حداقل دو توزیع جانبی برای برآورد سازه به کار گرفته شود.

4) محاسبات نیروهای اجزا برای ترکیبات مورد نیاز بارهای قایم و جانبی.

5) تنظیم نیروی جانبی که گونه ای که تنش داخل المان (یا گروه المانها) تا حدود 10% مقاومتش برسد.

6) ثبت برش پایه و جابجایی بام. (بهتر است نیروهای المانها و چرخشها نیز ثبت شوند تا در کنترل عملکرد استفاده گردند).

7) بازنگری در مدل با قرار دادن سختی صفر(یا بسیار کوچک) برای المانهای تسلیم شده.

8) اعمال افزایش جدید در بار جانبی و بازنگری در سازه تا آنکه المان یا گروه المان دیگری تسلیم شوند.

9) افزایش تغییر مکان بام و برش پایه را به مقادیر متناظر قبلی اضافه نمایید تا مقدار تغییر مکان بام و برش پایه جدید را بدست آورید.

10) گامهای 7و8و9 را تا رسیدن سازه به حد تغییر مکان نهایی ادامه دهید. مانند ناپایداری به علت اثرات . اغتشاش قابل توجه فراتر از سطح عملکردی مورد نظر، المان یاگروهی از المانها به سطحی از تغییر مکان جانبی برسند که در آن کاهش قابل توجه قدرت شروع شود یا المان یا گروهی از المانها به حدی از تغییر مکان جانبی برسند که قابلیت حمل بارهای ثقلی را از دست بدهند.

استثناء: در وضعیت های ویژه ای در جایی که المانها تمام یا قسمت عمده ای از قابلیت باربری جانبی خود را از دست می دهند اما می توانند بدون هیچ گونه اثرات غیرقابل قبول دیگری به تغییر شکل ادامه دهند ادامه تحلیل ممکن است موجه باشد. برای مثال می توانیم به تیرهای رابط یا هم بند اشاره نماییم.از بین رفتن این تیرها باعث باز توزیع نیروی جانبی می شود برای مدلسازی این مطلب از مدلسازی صریح استفاده می گردد. که باعث رسیدن به شکل دندانه اره‌ای می‌گردد.

6-1- محدودیتهای POA

گامهای اساسی در POA عبارتند از: 1) فرض رابطه غیرخطی نیرو- تغییر مکان برای المانهای سازه (مقاومت تسلیم، سخت شدگی مجدد، کاهش سختی و…) 2) محاسبه تغییر مکان هدف سازه 3) انتخاب بارگذاری جانبی معقول و هل دادن سازه تحت این بارگذاری که به صورت یکنواخت در هر گام افزایش می یابد. اگر یک عضو سازه‌ای تسلیم شود، سختی آن اصلاح می گردد تا زمانی که به تغییر مکان هدف برسیم یا سازه فرو بریزد. در این لحظه برآورد لرزه ای سازه انجام شده است.

از گامهای بالا مشخص می شود که تغییر مکان هدف و بارگذاری جانبی برای برآورد کارایی لرزه‌ای سازه ها توسط POA بسیار مهم و حیاتی می باشد. فرض می‌شود که تغییر مکان هدف نشانگر تغییر مکان حداکثری است که سازه در اثر زلزله تجربه خواهد کرد و الگوی بارگذاری جانبی نشان دهنده توزیع نیروی اینرسی در زلزله می باشد.

رفتار واقعی سازه هر زمانی که تحت تاثیر جنبشی نیرومند قرار گیرد توسط انجام تحلیل دینامیکی غیرخطی قابل تخمین زدن می باشد. نیز می توان ترتیب ترک و یا تسلیم اعضا را نیز مشخص نمود و در نتیجه رفتار سازه را درک کرد. بنابراین تحلیل دینامیکی غیرخطی به عنوان روشی قوی و منطقی برای طراحی لرزه ای سازه ها فرض می شود. در حال حاضر بسیاری از سازه های ویژه، پیچیده و مهم توسط روشهای دینامیکی غیرخطی تحلیل می شوند. با این وجود، این روش بسیار وقت گیر می باشد و نیز عدم اطمینان های زیادی موجود می باشند (برای مثال لزوم در نظرگیری چندین رکورد زلزله، رفتار هیترسیس اعضا و…).

بنابراین روش تحلیل دینامیکی غیرخطی به طور معمول در مطالعات تئوری استفاده می شود و در طراحی های معمول به کار نمی رود. پس کار ارزنده ای می باشد که روش ساده و کامپیوتری برای برآورد لرزه ای سازه ها پیشنهاد شود. برای این منظور POA معرفی شده است. برای بسیاری از موارد، می توانیم اطلاعات ارزنده تری از POA نسبت به تحلیل دینامیکی غیر خطی بدست آوریم، این روش، روش ساده و اقتصادی می باشد و امروزه توجه بیشتری را به خود جلب نموده است.

بخش دوم:

روش MPA: Modal Pushover Analysis

روند استاتیکی غیرخطی NSP یا POA همانطوریکه در FEMA273 و FEMA356 بیان شده است امروزه به صورت گسترده ای در میان مهندسان سازه استفاده می گردد. در طی سالیان گذشته تحقیقات زیادی بر روی فرضیات و محدودیتهای این روش انجام شده است. برای مثال بارگذاری مطابقت کننده که سعی می کند توزیع وابسته به زمان نیروهای اینرسی را مدل کند و نیز در نظر گیری مدهایی به جز مد اصلی نوسان از جمله راه‌حلها بوده است.

  با توجه به اصول دینامیک سازه روش MPA پیشنهاد شده است که امکان در نظرگیری تمامی مدهایی که تاثیر قابل ملاحظه ای بر پاسخ دارند را به استفاده کننده می‌دهد. این روش همان سادگی روندهای استاندارد تحلیل فزاینده استاتیکی غیرخطی را حفظ می کند و در ضمن توزیع بار نیز مستقل از زمان می باشد.

   از سال 1997، محققین متعددی روش POA را برای ساختمانهای غیر متقارن توسعه دادند. با اعمال توزیع متناسب با ارتفاع (height-wise) نیروی جانبی و انجام POA صفحه ای بر مرکز جرم طبقات یک روش تقریبی بسط یافت [18](kilar،fajfar) اما نویسندگان این گونه عنوان نمودند که «به نظر نمی رسد این روش صحت زیادی داشته باشد».

روش دیگری که شامل (i) یک آنالیز سه بعدی طیف پاسخ الاستیک برای بدست آوردن تغییر مکان بام و توزیع نیروی ارتفاعی برای المان های مقاوم و (ii) تحلیل صفحه‌ای برای هر المان مقام بود نیز توسط (Moghadam، TSO) ارائه شد.

مطالعات چندی نیز بر روی تاثیر اندرکنش قاب- دیوار در سازه های قاب دیوار انجام شد (Dstefano،Rutenberg). مقالاتی نیز در مورد اعمال نیروی جانبی در محلهای گوناگون پلان ارائه شد (Faella، Kilar).

مقایسات نسبتاً کمی که بین‌روش POA و RHA (Response History Analysis) انجام شد نشان دهنده موفقیتهای محدودی بودند. بنابراین ارائه روشی که جوابهای تقریبی نسبتاً قابل قبولی ارائه دهد یک نیاز برای مهندسین می‌باشد.

در اینجا هدف اصلی ما بسط MPA برای تخمین تقاضای لرزه ای ساختمانهای متقارن و غیرمتقارن در پلان بوده است. برای بیان MPA ابتدا لازم است مفهوم جدیدی به عنوان (UMRHA) Uncoupled Modal Response History Analysis بسط داده شود، که نشان داده می شود برای سیستمهای الاستیک خطی معادل (RHA) می باشد و برای سیستمهای غیرخطی روشی تقریبی می باشد. سپس MPA ارائه می گردد و نشان داده می شود که برای سیستمهای الاستیک معادل تحلیل طیف پاسخ می باشد(RSA) و فرضیات آن برای سیستمهای غیرخطی بررسی می گردد.

1-2- معادلات حرکت

ترکیبی از قابهای مقاوم در مقابل نیروی جانبی را در نظر بگیرید. در شکل (1) پلان نشان داده شده حول x و یا حول y متقارن نمی باشد این بدان معناست که توزیع جرم و یا سختی متقارن نمی باشند. با فرض کف صلب می توانیم سه درجه آزادی را در مرکز جرم CM تعریف نماییم.

شکل1- (الف) پلان (ب) قابها

معادله حرکت

بردار u دارای 1*3N مولفه می باشد (سه مولفه 1*N) یعنیux،uy، معادله حرکت به صورت زیر می باشد.

                                                     (1)

و ماتریس M یک ماتریس قطری می باشد که دارای مرتبه 3N می باشد و سه زیر ماتریس قطری IO،m،m (ممان اینرسی قطبی) دارا می باشد. 

بردارهای تاثیر به صورت زیر می باشند.

                                                                             (2)

طرف راست معادله را میتوان به عنوان نیروی موثر زلزله درنظر گرفت.

                                        (3)

2-2- معرفی سیستمهای مورد بررسی وحرکت زمین

سیستمهای در نظر گرفته شده گونه های مختلف ساختمان فلزی 9 طبقه می باشد که بیانگر سازه ای با ارتفاع متوسط است و مطابق سازه های در نظر گرفته شده برای پروژه فولاد SACمی باشد.

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 2- پلان انتخاب شده برای ساختمانهای نامتقارن در پلان

مقدار خروج از مرکز برای نامتقارن ساختن سازه حول محور y برابر 10% بعد انتخاب شد. با اعمال ضریب بر نسبت Ioj/m  در سیستم متقارن سه سیستم زیر حاصل شدند:

U1 : با اعمال ضریب 1 سیستمی حاصل شد که از نظر پیچشی سخت بود.که آنرا سیستم  Torsionally-Stiff می نامیم. در این سیستم حرکات انتقالی در مد اول وحرکات پیچشی در مد دوم غالب بودند.

U2 : با اعمال ضریب 2.95 سیستمی حاصل شد که دارای تناوبهای مودال نزدیک به هم بود که آنرا سیستم  Torsionally-Similarly-Stiff می نامیم.در این سیستم حرکات انتقالی و پیچشی به شدت به یکدیگر وابسته اند.

U3 : با اعمال ضریب 6 سیستمی حاصل شد که از نظر پیچشی انعطاف پذیر بود.که آنرا سیستم  Torsionally-Flexible می نامیم. در این سیستم حرکات پیچشی در مد اول وحرکات انتقالی در مد دوم غالب بودند.

شکل 3-مدها و تناوبهای طبیعی برای سیستمهای انتخاب شده

(a) U1     (b) U2     (c) U3

حرکت زمین انتخاب شده

حرکت زمین انتخاب شده LA25 می باشد که در شکل 4 نشان داده شده است.این یکی از 20 حرکت زمینی است که برای پروژه فلزیSAC تشکیل شده است و دارای تناوب بازگشت 2475 سال است.این حرکت مشابه حرکات حوزه نزدیک می باشد و از حرکات ثبت شده در رینالدی به هنگام زلزله Northridge مشتق شده است.

شکل 4- حرکت زمین مفروض

3-2- روند تقریبی تحلیل

1-3-2- بسط مدی نیروهای موثر

توزیع مکانی نیروهای موثر ( معادله 3 ) به صورت زیر نوشته می‌شود:

                                                                                      (4)

که ، nامین مد ارتعاش طبیعی سیستم می باشد که سه زیر بردار  دارد.

                                    (5)

بنابراین می توانیم بنویسیم:

                                                                 (6)

و مشارکت مد  nام در Peff

 (7)                                                                       

که

 (8)                                                                

هرچند  به مولفه حرکت زمین وابسته می باشد معادله (5).در شکل زیر یک بسط مدی  نشان داده شده است.

شکل 5- نمونه ای از بسط مدی برای سیستم U2:

2-3-2- ایده اساسی

دو روش برای تحلیل تقریبی ساختمانهای غیر الاستیک بررسی خواهند شد. تحلیل تاریخچه زمانی غیر درگیر (UMRHA) و MPA. در روش UMRHA تاریخچه زمانی پاسخ یک سازه به Peff،n(t)، nامین مد ارتعاش توسط یک RHA غیرخطی بر روی یک سازه یک درجه آزادی بدست می آید و برهم نهی این پاسخ های مودال، کل پاسخ را بدست می دهد. در روش MPA پاسخ حداکثر به Peff،n(t) توسط یک آنالیز استاتیکی غیرخطی محاسبه می شود و حداکثر پاسخ های مودال توسط قوانین ترکیب مدی ترکیب می گردند تا پاسخ نهایی حاصل شود.

4-2- روش UMRHA

1-4-1- سیستمهای خطی

با توجه به آنالیز مودال کلاسیک داریم.

                                                                                                       (9)

که مختصات های مودی توسط رابطه زیر بدست می آیند:

                                                                       (10)

که در اینجا برای حل qn

                                                                                                  (11)

می باشد و Dn(t) پاسخ تغییر مکانی  nامین مد سیستم خطی یک درجه آزادی می‌باشد. در نتیجه خواهیم داشت:

                                                                         (12)

با جاگذاری معادله (11) در (9) تغییر مکانهای جانبی در جهات y،x و پیچش بدست می آیند.

                                                           (13)

و تغیر مکان طبقه (در مرکز جرم):

                                                                         (14)

معادلات (13) و (14) بیانگر پاسخ یک سیستم MDF به Peff،n(t) می‌باشند. بنابراین پاسخ نهایی سیستم عبارت از:

                                                                                                   (15)

که این روش برای سیستمهای الاستیک دقیق می باشد.

1-4-2- سیستمهای غیرالاستیک

هرچند آنالیز مودال برای یک سیستم غیرخطی معتبر نمی باشد اما پاسخ آن در قالب مختصات مدال یک سیستم الاستیک قابل بحث و بررسی می باشد. هر المان سازه‌ای در سیستم الاستیک متناظر به گونه ای تعریف می شود که دارای سختی برابر سختی اولیه همان عضو در سیستم غیر الاستیک باشد چون خصوصیات جرم و میرایی را نیز یکسان در نظر می گیریم، مدها و تناوبهای طبیعی این دو سیستم یکسان فرض می‌شوند. پاسخ یک سیستم غیرخطی به Peff،n(t) دیگر مانند معادله (9) در این قسمت قابل بیان نمی باشد به این علت که مدهای دیگری بجز مد  nام هم در پاسخ مشارکت خواهند داشت. پس داریم:

                                                                           (16)

هرچند چون در سیستم خطی برای تمام مدها به جز مد nام qr(t)=0 ، معقول است که انتظارداشته باشیم qr(t) احتمالاً باید برای سیستمهای غیرخطی در مدهای غیر غالب عدد کوچکی باشد.

مشاهدات انجام شده بیانگر این مطلب می باشند که روندهای تقریبی غیرخطی برای سیستمهای دارای مقاومت پیچشی زیاد و کم تقریباً به همان صحت این تحلیلها برای سیستمهای متقارن می باشند اما ممکن است این روش ها برای ساختمانهایی که دارای تناوبهای ارتعاش طبیعی نزدیک به هم باشند صحت کمتری داشته باشند.(اشکال 6 تا 9)

شکل 6 -جداسازی مدی تغییر مکان بام(ساختمان متقارن)

در مرکز جرم Peff,i=-sixLA25

پس برای بسیاری از حالات با توجه به روند تقریبی می توانیم بنویسیم.

                                                                          (17)

و در اینجا Fsn یک تابع غیرخطی هیسترتیک از qn می باشد.

                                                        (18)

اگر از مشارکت های کوچکتر از مدهای دیگر صرف نظر نکنیم، F­sn به تمامی مختصات مدی وابسته می گردد (به علت تسلیم سازه)

شکل 7 - جداسازی مدی تغییر مکان بام(ساختمان U1)

در قاب راست Peff,i=-sixLA25

با توجه به نکات بالا و معادله (11) می توانیم بنویسیم.

                                                                             (19)

در اینجا Dn(t) ممکن است به صورت پاسخ تغییر مکانی مد nام یک سیستم SDF غیرالاستیک، یعنی یک سیستم تک درجه آزادی با 1) خواص ارتعاش کم دامنه- فرکانس طبیعی و میرایی کم- برای مد nام سیستم الاستیک متناظر و 2) رابطه زیر بین   

                                                     (20)

برداشت شود که توسط یک آنالیز استاتیکی غیرخطی بدست می آید.

شکل 8 - جداسازی مدی تغییر مکان بام(ساختمان U2)

در قاب راست Peff,i=-sixLA25

پس از بدست آوردن Dn می توانیم با قرار دادن در معادلات (13) و (14) تغییر مکان طبقات و تغییر مکان نسبی را بدست آوریم (برای Peff،n که بیانگر مشارکت مد nام در کل پاسخ می باشد) برهم نهی پاسخ بر مبنای معادله (15) برای بدست آوردن کل پاسخ منحصراً مخصوص سیستمهای خطی می باشد اما همانطوریکه نشان داده شده است این روش برای سیستمهای غیرالاستیک با پلان متقارن تقریباً صحت دارد (Goel، Chopra 2004) (8). این روش UMRHA برای تحلیل تقریبی سیستمهای غیر الاستیک می باشد که برای سیستمهای خطی معادل RHA می باشد.

شکل 9 -جداسازی مدی تغییر مکان بام(ساختمان U3)

در قاب راست  Peff,i=-sixLA25

برای مشخص شدن فرضیات بنیادی و تقریبات در UMRHA برای سیستمهای غیرالاستیک معادلات کلیدی برای دو کلاس سیستمهای سازه ای (الاستیک و غیرالاستیک) مقایسه می شوند. معادله (11)، (13) و (14) برای هر دو سیستم به کار می روند معادلات (10) و (12) نسبت به (17) و (19) متفاوت می باشند (تنها در نیروی مقاوم) معادلات (15) و (9) برای سیستمهای الاستیک دقیق می باشند ولی برای سیستمهای غیرخطی تقریبی می باشند. همانگونه که در معادله (16) می بینیم، یک تقریب عمده ناشی از در نظر نگرفتن مختصات مودهای الاستیک همزمان (معادله 18) در محاسبه پاسخ به Peff،n(t) می باشد. نکته قابل توجه آنست که این جوابها به علت آنکه ناشی از Peff،n(t) یعنی مشارکت مد nام در Peff می باشد درست است و برای توزیع باری به جز آن (sn) درست نمی باشد.

روش UMRHA بر مبنای معادله (16) می باشد که تغییر شکلها را محدود به Peff،n(t) می کند این روش برای سیستمهای الاستیک کاملاً دقیق می باشد ولی برای سیستمهای غیرالاستیک روشی تقریبی می گردد. در روش MPA از این تقریبات پرهیز می گردد. اما یک تقریب ترکیب مدی باید معرفی گردد.

 

 

شکل 10 –مقایسه تغییر مکان تقریبی بام در قاب راست(U1)

با استفاده از روش UMRHA و NRHA

 

 

شکل 11- مقایسه تغییر مکان تقریبی بام در قاب راست(U2)

با استفاده از روش UMRHA و NRHA

 

 

شکل 12- مقایسه تغییر مکان تقریبی بام در قاب راست(U3)

با استفاده از روش UMRHA و NRHA

 

شکل 13- مقایسه راندگی تقریبی بالاترین طبقه در قاب راست(U1)

با استفاده از روش UMRHA و NRHA

شکل 14- مقایسه راندگی تقریبی بالاترین طبقه در قاب راست(U2)

با استفاده از روش UMRHA و NRHA

 

شکل 15- مقایسه راندگی تقریبی بالاترین طبقه در قاب راست(U3)

با استفاده از روش UMRHA و NRHA

5-2- آنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی مودال

1-5-2- سیستمهای الاستیک

نیروهای جانبی زیر را در نظر بگیرید.

                                                        (21)

که sxn و … توسط معادله (8) مشخص می شوند و  که Dn­ حداکثر تغییر مکان مد  nام سیستم SDF خطی می باشد (معادله 9 ). آنالیز استاتیکی برای نیروهای تعریف شده توسط معادله (21) مقدار حداکثر rn(t) یعنی مشارکت مد  nام در r(t) را بدست می دهند.

به طریقی دیگر این پاسخ حداکثر مودال توسط آنالیز استاتیکی برای توزیع نیروهای مودال قابل محاسبه می باشد.

                                                                                                    (22)

برای سازه هول داده شده در طبقه   Nام (بام)

                                                                                              (23)

که اندیس r بیانگر «بام» می باشد. برای سازه های الاستیک توزیع sn* تنها توزیعی می باشد که تغییر مکانهایی متناسب با مد  nام بدست می دهد. سه مولفه جابجایی بام برای یک سیستم الاستیک به طور همزمان به مقادیر مشخص شده توسط رابطه (23) می رسند.

حداکثر پاسخ مدی rn، که هر کدام توسط یک آنالیز POA بدست می آیند را می‌توان توسط روش CQC (قاعده ای مناسب برای سیستمهای نامتقارن) ترکیب نمود. زیرا ممکن است در سیستمهای نامتقارن مدها دارای فرکانسهای ارتعاشی نزدیک به هم باشند. روش MPA برای سیستمهای خطی مشابه RSA می باشد.

2-5-2- سیستمهای غیرخطی

در روند MPA، پاسخ حداکثر rn مربوط به یک ساختمان غیرالاستیک در بارگذاری Peff،n(t)، توسط یک تحلیل استاتیکی غیرخطی برای ساختمان که تحت تاثیر بارگذاری جانبی با توجه به  قرار گرفته است با افزایش نیروها تا رسیدن به تغییر مکان حداکثر بام تخمین زده می شود. این مقادیر مولفه های تغییر مکانی بام، توسط معادله 23 تخمین زده می شوند، همانند سیستمهای الاستیک، اما Dn در اینجا حداکثر تغییر مکان برای مد nام سیستم SDF غیرالاستیک می باشد که توسط معادله (19) بدست می آید.

به علاوه Dn با توجه به طیف پاسخ غیر الاستیک (یا طیف طرح غیرالاستیک) یا طیف پاسخ (یا طرح) الاستیک و به کار بردن روابط تجربی برای نسبت تغییر مکان غیرالاستیک، قابل محاسبه می باشد.در این تغییر مکان بام، آنالیز استاتیکی غیر قطبی تخمینی از مقدار حداکثر rn از پاسخ rn(t): تغیر مکان بام، راندگی طبقات و سایر مقادیر تغییر مکانی بدست می دهد.

برای سیستمهای غیرالاستیک توزیع متغیر نیروها باعث ایجاد تغییر مکانهای متناسب با nامین مد الاستیک می شوند بنابراین این مولفه ها برای یک سیستم غیرالاستیک به صورت همزمان به مقادیر معادله (23) نمی رسند. یکی از مولفه‌های جانبی به عنوان مولفه کنترلی انتخاب می شود.

آنالیز استاتیکی غیرخطی با استفاده از توزیع  ما را به سمت منحنی Pushover در مد nام رهنمون می شود. این گونه منحنی های Pushover برای چند نمونه از سازه‌های مورد بررسی نشان داده شده اند. در نقطه تسلیم برش پایه و تغییر مکان بام  می باشد.

شکل 16- منحنی های PO سیستم U1 که تغییر مکان هدف در CM در نظر گرفته شد.

 

شکل 17- منحنی های PO سیستم U2 که تغییر مکان هدف در CM در نظر گرفته شد.

 

شکل 18-منحنی های PO سیستم U3 که تغییر مکان هدف در CM در نظر گرفته شد.

در شکل 19 منحنی Pushover مربوط به مد اول و ایده آل سازی دو خطی آن نشان داده شده است.

 

شکل 19- مشخصات n امین مود سیستم یکدرجه آزادی غیرخطی با توجه به منحنی pushover

رابطه نیرو تغییر مکان  برای مد n ام یک سیستم SDF به منظور تعیین Dn لازم می باشد. حال چه با حل معادله (19) و یا توسط روش طیف پاسخ. بر مبنای تئوری که پیش از این ارائه شد (Chopra،Goel 2002)، منحنی Vbn-urn در Pushover به  تبدیل می شود در جایی که مقادیر تسلیم  عبارتند از:

                                                                                                    (24)

که در آن جرم موثر مدی می باشد. که این دو توسط

                                                                                                        (25)

به هم مربوط می شوند. با دانستن  و  با توجه به معادله (24) تناوب الاستیک nامین مد سیستم SDF را می توان از رابطه زیر بدست آورد:

                                                                                             (26)

مقدار پاسخ r­n که توسط آنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی حاصل می گردد تخمین از حداکثر پاسخ rn(t) برای سازه غیرالاستیک به Peff،n(t) می باشد. اما مشابه تخمین دیگری که توسط UMRHA حاصل شد نمی باشد. همانطور که قبلاً بیان شد. rn بدست آمده توسط Pushover بر روی سیستم الاستیک مقدار حداکثر دقیق rn(t) مشارکت مد nام در r(t) می باشد. بنابراین ما حتی در مورد سیستمهای غیرالاستیک به rn به عنوان حداکثر پاسخ «مدی» اشاره می کنیم. هرچند برای سیستمهای غیرالاستیک هر دوی تخمین های حداکثر پاسخ مدی تقریبی می باشند و با یکدیگر تفاوت دارند تنها استثنا مولفه کنترل کننده تغییر مکان بام می باشد. این تفاوت به علت فرضیات متفاوت در این دو روش می باشند. UMRHA بر مبنای تقریب موجود در رابطه (16) می باشد که در MPA از آن اجتناب شده است به علت آنکه تغییر مکانها و سایر پارامترها توسط آنالیز استاتیکی غیرخطی با توزیع جانبی  بدست می آید. از این نظر (که تغییر مکانها متناسب با اشکال مدی نیستند) روش MPA رفتار غیرخطی سازه را بهتر نشان می دهد.

هرچند روش MPA دارای مبدا تقریب دیگری می باشد که در UMRHA موجود نمی باشد. حداکثر پاسخ های rn که توسط یک آنالیز فزاینده غیرخطی بدست می آیند توسط روش CQC ترکیب می گردند (همانند سیستمهای الاستیک). این کاربرد ترکیب مدی به طور مشخص دارای کمبودهایی برای سیستمهای غیرالاستیک می‌باشد. اما به علت آنکه مدها همبستگی ضعیفی دارند، منطقی به نظر می رسد.   

6-2- خلاصه MPA

در اینجا خلاصه ای گام به گام از روش MPA ارائه می گردد.

1) فرکانسهای طبیعی و اشکال مدی  برای ارتعاش الاستیک خطی ساختمان محاسبه کنید.

2) برای مد nام، نمودار Vbn-Urn، تغییر مکان بام برش پایه را که منحنی Pushover می باشد توسط آنالیز استاتیکی غیرخطی با توزیع  (معادله 22) را بدست بیاورید از میان دو منحنی Pushover بدست آمده که متناظر با دو جهت x و y هستند ترجیحاً منحنی که مرتبط به جهت غالب حرکت در آن شکل مدی می باشد را انتخاب نمایید. بارهای ثقلی قبل از انجام آنالیز استاتیکی غیرخطی به سازه وارد می گردند.

3) منحنی بدست آمده را به یک منحنی دو خطی ایده آل نمایید.

4) این منحنی دو خطی ایده آل شده Vbn-urn را به منحنی  تبدیل کنید برای این کار باید از این روابط استفاده نمایید.

و  که در آن  مقدار  در بام در جهت مورد بررسی می‌باشد و  و  نیز وابسته به جهت بررسی می باشند.

5) مقدار حداکثر تغییر شکل Dn مربوط به مد nام برای سیستم SDF غیرالاستیک که توسط رابطه نیرو تغییر مکان در گام 4 تعیین شده و با میرایی  بدست آورید.

تناوب الاستیک سیستم . برای یک سیستم تک درجه آزادی با مقادیر  مشخص، Dn از آنالیز غیرخطی RHA، طیف طرح غیرالاستیک، با استفاده از طیف الاستیک به همراه روابط تجربی برای تبدیل به حالت غیرخطی مشخص می شود.

6) مقدار حداکثر تغییر مکان بام Urn در جهت انتخاب شده، وابسته به nامین مد سیستم SDF غیرالاستیک را از رابطه زیر حساب کنید.

7) از بانک اطلاعاتی (گام 2)، مقادیر پاسخ مورد نظر rn+g با توجه به تاثیر ترکیب نیروی ثقلی و بارهای جانبی را در تغییر مکان بام برابر urn+urg را محاسبه نمایید.

8) گامهای 3 تا 7 را برای رسیدن به مقدار دلخواه صحت و مدهای گوناگون انجام دهید.

9) پاسخ دینامیکی را با توجه به nامین مد، rn+=rn+g-rg ، در جایی که rg پاسخ نیروهای ثقلی می باشد محاسبه نمایید.

10) کل پاسخ را با ترکیب CQC بدست آورید.

                                                                    (27)

که

                                            (28)

که در اینجا

7-2- برآورد روش

بر مبنای تئوری دینامیک سازه ها، روش MPA سادگی و جذابیت محاسباتی روندهای استاندارد آنالیز استاتیکی فزاینده غیرخطی با توزیع بار ثابت را حفظ می کند. به علت آنکه POA  برای مدهای بالاتر همانند آنالیز مد اول می باشد، MPA سخت تر از روندهای کنونی نمی باشد و به علت آنکه معمولاً در نظرگیری 2 یا 3 مد کافی می‌باشد تلاش محاسباتی تقریباً در همان حد، FEMA 356 که دو نوع بارگذاری لازم می داند، می باشد. در این قسمت به مقایساتی بین روندهای موجود و MPA می پردازیم.

روند فعلی

روند استاتیکی غیر خطی در FEMA 356 برای رسم منحنی pushover به کار می‌رود. توزیع بار مبتنی بر «مود اول» (اشکال 20 و 21) به وضوح رانش طبقات را کمتر تخمین می زنند (مخصوصاً برای طبقات بالا) هر چند روش توزیع بار ELF و SRSS که برای در نظر گیری مدهای بالا پیشنهاد شده‌اند نیز تقاضای لرزه‌ای را به صورت مناسبی تخمین نمی‌زنند توزیع بار یکنواخت به طور کاملاً مشخص تقاضای لرزه در طبقات بالا را کمتر و طبقات پایین را بیشتر تخمین می‌زند.

شکل20- میانگین راندگی طبقات حاصل از NRHA و چهار روش عنوان شده در FEMA356

شکل21- میانگین چرخش پلاستیک حاصل از NRHA و چهار روش عنوان شده در FEMA356

برآورد MPA : ساختمانهای متقارن

با توجه به شکلهای 22 و 23 متوجه می‌شویم که در نظرگیری مدهای بالاتر باعث تخمین مناسب رانش طبقه و تقاضای چرخش پلاستیک تیر می‌شود. با در نظرگیری مدهای بالاتر مفصل شدن در طبقات بالا نیز قابل ردیابی توسط تحلیل فزاینده استاتیکی غیر خطی می‌باشد.

شکل22- میانگین راندگی طبقات حاصل از NRHA و MPA با در نظر گیری تعداد مود مختلف(با لحاظ P- )

 

شکل23- میانگین چرخش پلاستیک تیرهای داخلی حاصل از NRHA و MPA با در نظر گیری تعداد مود مختلف(با لحاظ )

 

 

شکل24- میانگین نسبت راندگی تیرهای داخلی حاصل از NRHA و MPA با در نظر گیری تعداد مود مختلف(با لحاظ یا بدون لحاظ )

صحت روش MPA:

MPA نیازهای لرزه ای را بسیار درست تر از FEMA356 تخمین می زند اشکال20 و22 نیز21 و23. هر چند روش MPA هم روش تقریبی می باشد و نباید توقع داشت که نیازهای لرزه ای را دقیقاً مشابه NRHA بدست بدهد. با توجه به اشکال ارائه شده خطای موجود در MPA (با در نظر گیری P-) برای ساختمانهای Boston و Seatle (از جمله ساختمانهای پروژه SAC) تقریباً همانند بزرگترین خطای مشاهده شده در روند RSA که توسط مهندسان به کار می رود- می باشد. با وجود اینکه روش MPA برای ارزیابی لرزه ای بسیاری از سازه ها و حرکات زمین صحت مناسبی دارد (بسیار صحیح تر از FEMA356) ممکن است در اثر ورود سازه به قسمت سختی کاهنده، خطاها به طور غیر قابل قبولی افزایش یابند برای مثال می توان به ساختمان 20 طبقه Los Angeles که تحت حرکت ترکیب شده SAC 2/50 قرار گرفته اشاره نمود. برای چنین مواردی MPA و هیچ POA دیگری قابلیت ارائه رفتار سازه را ندارند و بهتر است از NRHA استفاده شود.

در کاربرد عملی MPA تغییر مکان بام برای هر آنالیز POA مودال را می توان از طیف الاستیک که سطح خطر مورد نظر را تعریف می کند ضرب در نسبت تغییر مکان غیرالاستیک استفاده نمود.

شکل25- میانگین نسبت پاسخ r*MPA برای نیروی محوری ستون و رانش طبقه

شکل26- میانگین نسبت پاسخ r*MPA برای لنگر خمشی ستون و رانش طبقه

برآورد MPA : ساختمانهای غیر متقارن

همانطوریکه اشاره شد در نظرگیری تنها مد اول برای برآورد لرزه‌ای کافی نمی‌باشد و می‌توان با در نظرگیری مدهای بالاتر تخمین بهتری از تقاضای لرزه‌ای بدست آورد. برای حرکت زمین در نظر گرفته شده روش MPA رای سیستمهای u3 و u1 دارای صحتی مشابه سیستم متقارن می‌باشد هر چند برای u2 صحت کمتری دارد. این صحت کمتر می‌تواند به دو دلیل باشد:

1) اولین احتمال می‌تواند آن باشد که سیستم تناوبهای مدال بسیار نزدیک به هم دارد و در هر مد ارتعاش همزمانی و وابستگی زیادی بین حرکات انتقالی و پیچشی وجود دارد. اما از آنجایی که UMRHA برای این سیستم صحت مناسبی دارد به نظر نمی‌رسد این دلیل موجه باشد.

2) دلیل دیگر می‌توان آن باشد که تغییر مکان بام سیستم u2 به علت حرکت زمین انتخاب شده توسط روند MPA بسیار کمتر تخمین زده می‌شود. این اغتشاش به علت آنکه پاسخ‌های مدی تقریباً در یکزمان به حداکثر خود می‌رسند ایجاد می‌گردد (وضعیتی که روش CQC برای آن مناسب نمی‌باشد.)

شکل 27- تغییر مکان کف و رانش طبقات حاصل از MPA به ترتیب از بالا به پایین      (a) پلان متقارن (b)U1 (c)U2 (d)U3   

 

شکل 28- تغییر مکان کف و رانش طبقات حاصل از MPA وNRHA برای قاب راست سیستم U2 با استفاده از CQC و ABSSUM

مراجع:

 1- Building Seismic Safety Council (1997) NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-273, Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C.

2- American Society of Civil Engineers (2000). Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-356, Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C.

3- Fajfar, P., and fischinger, M. (1988). N2- a method for nonlinear seismic analysis of regular structures, Proc., 9 th World Conf. Earthq. Engrg., 5:111-116, Tokyo- kyoto, Japan.

4- Krawinkler, H,, and Seneviratna, G.D.P.K. (1998). Pros and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation. Engrg. Struc., 20(4-6):5452-464.

5- Kim. B., and D’Amore, E. (1999). Pushover analysis procedure in earthquake engineering, Earthq. Spectra, 13(2):417-434.

6- Gupta, B., and Kunnath, S.K. (2000). Adaptive spectra- based pushover procedure for seismic evaluation of structures, Earthq. Spectra, 16(2): 367-392.

7- Sasaki, k.k., Freeman, S.A., and Paret, T.F. (1998)Multimode pushover procedure (MMP) - A method to identify the effects of higher modes in a pushover analysis, Proc., 6 th U.S. Nat. Conf. Earthq. Engrg., Seattle, Washington.

8- Chopra, A.K., and Goel, R.K. (2002). A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings, Earthq. Engrg. Struc. Dyn., 31(3): 561-582.

9- Chintanapakdee, C, and Chopra, A.K. (2003). Evaluation of modal pushover analysis using generic frames, Engrg. Struc. Dyn., 32(3): 417-442.

10- Kilar, V., and Fajfar,P. (1997). Simple push-over analysis of asymmetric buildings, Earthq. Engrg. Stuc. Dyn., 26(2):233-249.

11- Moghadam, A.S., and Tso, W.K. (1998). Pushover analysis for asymmetrical multistory buildings, Proc., 6th U.S. Nat. Conf. Eagrg., EERI, Oakland, Calif., 13 pgs.

12- Chopra, A.K. (2001). Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering. 2nd Edition, New jersey: Prentice Hall.

13- Chopra, A.k. and Chintanapakdee, C., (2003) Inelastic deformation ratios for design and evaluation of structures: Single-  degree- of- freedom bilinear systems, ASCE, J, Struc. Engrg., to appear.

14- Chopra, A. K., Goel, R. K., and Chintanapakdee, C. (2003) Statistics of single- degree- of- freedom estimate of displacements for pushover analysis of buildings, ASCE, J. Struc. Engrg., 129:1-11.

15- Yang, Pu, Wang, Yayong. " A study on improvement of pushove Analysis", 12 WCEE.

16- J. Skokan, Matthew, and C. Hart, Gary, "Reliability of Nonlinear static methods for seismic per formance prediction of steel frame buildings", 12 WCEE.