ویژگیهای تحلیلی نگاشت

ویژگیهای تحلیلی نگاشت

عددهای موهومی پرواز شگفت انگیز روح خدایند.این اعداد هویت دو گانه ای بین بودن ونبودن دارند.

                                                                             گاترفید ویلهلم فون لایب نیتس۱۷۰۲میلادی

نظریه ی تابع ها از یک متغییر مختلط شامل برخی از قوی ترین و مفید ترین وپر کاربرد ترین ابزارهای تحلیل ریاضی است.برای انکه دست کم تا هدودی اهمییت متغیر های مختلف را نمایش دهیم چند مبهث از کاربرد های انها را به اختصار بر می شمریم .

۱.در مورد بسیاری از زوج تابع هایu v ,همuوهم vدر معادله ی لاپلاس در دو بعد واقعی صدق میکنند .

                                                                                                برای مثال یا vیاu  را میتوان برای توصیف پتانسیل الکتروستاتیکی دو بعدی به کار برد . آن گاه میتوان از تابع دیگری برای توصیف میدان الکتریکی  Eبهره گرفت  که یک دسته از منحنی های عمود بر منحنی های مربوط به تابع اولیه را ارائه می کند  یک موقعیت مشابه برای هیدرودینامیک از یک شاره ایده ال با حرکت غیر چرخشی نیز وجود دارد تابع uباید پتانسیل سرعت را توصیف کند در حالی که تابع  vتابع جریان خواهد بود.

درمواردبسیاریکه تابع های  u,vمجهولند می توانیم به یاری نگاشت یا تبدیل در صفحه ی مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ی مورد نظر بسازیم .

٢.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج های اعداد حقیقی ساخته می شوند بنابر این حوزه ی اعداد حقیقی به طور طبیعی در حوزه ی اعداد مختلط جا سازی میشوند. در اصطلاح های ریاضی حوزه ی اعداد مختلط تعمیمی از حوزه ی اعداد حقیقی است و بعداً در جهت هر چند جمله ای به ترتیب n (در حالت کلی )صفر مختلط کامل میشود . این واقعیت ابتدا به وسیله ی گاوس اثبات شد و قضیه اصلی جبر نامیده شد (بخش ۶-۴و۷-٢ را ببینید )  به صورت یک نتیجه تابع های حقیقی سری حقیقی بی نهایت و انتگرال ها معمولا میتوانند به طور طبیعی به اعداد مختلط ساده به وسیله ی نشاندن یک متغیر حقیقی x برای مثال به جای مختلط z تعمیم داده شوند .            

 در فصل ۸خواهیم دید که معادله های دیفرانسیل مر تبه ی دومی که در فیزیک مطرح می شوند می توان به کمک سری توانی حل کرد.

 اگر به جای x متغیر مختلط z را قرار دهیم همین سری توانی را میتوان در صفحه ی مختلط نیز به کار برد. وابستگی جوابدر نقطه ی معلوم 0 z ،به رفتار در هر جای دیگر ،نگرش گسترده تری درباره ی جواب به ما می دهدو ابزاری قوی(ادامه تحلیلی) برای گستردن ناحیه ای به شمار می آید که در آن جواب صادق است.

٣. با تغییر پارامتر   kازحقیقی به موهومی، ik → k معادله هلمهو لتر  به معادله ی پخش

تبدیل می شود.همین تغییر جوابهای معادله ی  هلمهولتر(تا بع های بسل و بسل کروی )

 را به جواب ها ی معادله ی پخش (تابع های تعدیل یافته ی بسل و تعدیل یافته ی بسل کروی )تبدیل می کند .

۴.کاربرد انتگرالهادر صفحه مختلط در موارد  زیر متنوع  و مفید است.

( الف) محاسبه ی انتگرا لهای معین (در بخش٧-۲) 

(ب)وارون  کردن  سریهای  توانی

(ج) تشکیل حاصلضربهای  نامتناهی. ازتوابع  تحلیلی(در بخش٧-٢)

(د)دستیابی به جواب های معادله های دیفرانیسل به ازای مقادیربز رگ متغیر

(جواب های مجانبی)

(ه) بررسی پایداری دستگاه های بالقوه نو سانی.

(و)وارون کردن تبدیل های انتگرالی .(درفصل ١٥)

در پایان باید بدانیم که درهنگام تعمیم یک نظریه یساده ی فیزیکی ،بسیاری ازکمیتهای فیزیکی  که در اصل حقیقی بودند، به مختلط تبدیل میشوند . ضریب شکست نور که کمیتی حقیقی است . با در نظر گرفتن  جذب ، به کمیت مختلطی تبدیل میشود . انرﮊی مربوط به یک  تراز انرﮊی هسته ای که حقیقتی است، با در نظر گرفتن طول عمر  محدود تراز انرﮊی ، به صورت مختلط در میآید،.E=m±iΓ

مدارهای الکتریکی با مقاومت  Rو ظرفیت خازن  Cو خود القاییL به ا مپدا نس(مقاومت مختلط) تبدیل می شود ( Cω/1-i (ω L+R=z.

ابتدا حساب مختلط را در بخش( ١-٦ )و سپس تابع های مختلط و مشتق انها را در بخش(٢-٦) معرفی می کنیم .در ادامه بافرمول انتگرال بنیادی کوشی دربخش (٣-٦ )وادامه ی  تحلیلی ،تکینه و بسط های لورن و تیلور تا بع ها دربخش (٥-٦ )ونگاشت همدیس  و نقطه ی فرعی تکینه ها  و توابع چند ظرفییتی   در بخش( ٦-٦)و (٧-٦ )آشنا خواهیم شد .

۶.۱       جبر مختلط

به تجربه می دانیم که با حل کردن معادله های درجه دوم  برای به دست آوردن صفر های حقیقی آ نها اغلب موفق نمی شویم حاصل جواب را به دست بیاوریم  مثال زیر به این نکته اشاره دارد :

 مثال ١-١-٦       شکل درجه دوم  مثبت

برای همه ی مقادیر حقیقیی xمثبت و معین است .

معادله ی بالا در حوزه اعداد حقیقیی y(x)=0جواب ندارد. البته اگر ما از علا مت  استفاده کنیم میتوانیم جواب های y(x)=0رابه صورت    بنویسیم در زیر درستی آن را بررسی می کنیم:

 

اگر چه می توانیم مجاسبا تی باi  با توجه  به قانون  انجام دهیم اما این علا مت به ما نمی گوید که اعداد موهومی واقعی هستند.

برای تمایان ساختن صفر های مختلط  باید اعداد حقیقی روی خط را در یک صفحه ی اعداد مختلط بزر گ کنیم . یک اعدد مختلط را به صورت یک نقطه با دومختصات در صفحه اقلیدسی به صورت زوج مرتب از دو عدد حقیقیی(a,b)به صورتی که در (شکل۶-۱ )نشان داده شده است معین کنیم . شبیه آن،یک متغیرمختلط یک زوج مرتب ازدومتغیر حقیقی است،

                                                               .                   (6.1)

تریب قرار گرفتن متغیر ها مهم است .  xقسمت حقیقی z ,  y قسمت موهومی zنامیده میشود . در حالت کلی ، ( a,b) با (b,a) مساوی نیست و همچنین (,y x) با ((y,xمساوی نیست .به طور معلوم نوشتن یک عدد حقیقی (  ( x ,o  را به سادگی بصورتxادامه می دهیم و (o,l) = iرا واحد موهومی می شویم محور xمحورحقیقی است و محور yمحور موهومی صفحه عدد مختلط است. توجه کنید که درمهندسی الکتیریکی قرار دارد  است وiازپیش برا ی نشان دادن شدت جریان الکتیریکی حفظ شده است. عدد های مختلط باتوجه به مثال۶-۱-۱  نقطه های  هستند .

شکل۶-۱:صفحه ی مختلط- نمودار آرگاند

   بهره گیری از نموداری متغییر مختلط در موارد زیادی مفید وراحت است. اگر x،یعنی جزءحقیقی z،را محو ر طول و y،یعنی جزء موهومی z،را روی محور عرض بنامیم ،مطابق( شکل۶-۱)صفحه ی مختلط یا صفحه ی آرگاند خواهیم داشت . اگر مقادیر خاصی به y,x نسبت دهیم، zبا نقطه ی (x,y) در صفحه ی مختلط متنا ظر خواهد شد .مطا بق ترتیبی که قبلا" برشمر دیم ، روشن است که نقطه ی (x,y) بر نقطه ی((y,xمنطبق نیست ،مگر در حالت خاص .x=y

اعدد مختلط نقطه هایی در صفحه هستند حالا می خواهیم تا جمع تفریق وضرب وتقسیم آنها را ،دقیقاً مانند اعداد  حقیقی انجام دهیم .کل مبحث  تحلیل متغییرمختلط را می توان بر حسب زوجهای[1] مرتب اعداد ( a,b)متغیرهای (x,y)،وتابعهای( (x,y),v (y   ( u(x,بیان کرد .به کار بردن iلازم نیست ولی مفید است . iترتیب زوجهارا شبیه بردار های یکه در فصل حفظ می کند.جمع اعداد مختلط در اصلاح مولفه های دکارتی  صورت  زیر معین می کنیم            .

z1  + z2= (x1 ,y1 ) + (x2 ,y2 ) = (x1 +x2 ,y1 +y2 ) =z1 + z2,              (6.2)

که جمع بردار دو بعدی است . در فصل۱،هر نقطه در صفحه یxy  را با یک بردار جابجایی دو بعدی مشخص کردیم .در نتیجه در مورد قسمت اعظم تحلیل مختلط می توان مشابه های برداری دو بعدی را تشکیل داد.در مسئله (۲-١-۶ )یک نمونه ساده این شباهت را مشاهده  می کنید . قضیه ی کو شی در بخش (۶-۳ )نمونه ی دیگری از آن است.همچنین 0= ( y٫x)+(y- ٫x-)=z+z- بنابراین منفی اعداد مختلط منحصر به فرد است. تفریق اعداد مختلط مانند جمع انها انجام می شود:

(  y2-  y12٫x -1 x) = z2-z1

ضرب اعداد مختلط به صورت زیر تعیین میشود

z1 z2= (x1, y1).(x2 ,y2)=(x1 x2 –y1 y2 ,x1 y2 +x2 y1 ).                   (6.3)

از معادله (۶-٣) استفاده می کنیم. نیزبررسی می کنیم که: به طوری که  می توانیم بطور معمولiرا مساوی با   بدانیم.بعلاوه با باز نویسی معادله (۶-۱) داریم:

Z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+(0,1).(y,0)=x+iy.            (6.4)                               

به کار بردن iلازم نیست در اینجا ولی مفید است .iترتیب زوجها را شبیه بردارهای یکه در فصل ١ حفظ میکند.

با استفاده از اعداد مختلط میتوانیم صفرهای معادلهz ²+z+1=0 در مثال (۶-۱-۱)به صورت  و مضربهای کامل تعیین کنیم.

همیوغ مختلط

عمل نشاندنi- به جای i در اعداد مختلط و متغیرهای مختلط و تابع های مختلط" گرفتن همیوغ مختلط" میگویند .همیوغ مختلط zرا بانشان میدهند[2]  ودر نتیجه     

(6.5)                        .

شکل ۶-۲ :  نقاط همیوغ مختلط

 متغییر مختلط zو همیوغ آن نسبت به محور xتصویرهای آینه ای  یکدیگرند  یعنی تبدیل yبه

-y(با شکل ۶-۲ مقایسه کنید ). حاصلضرب عبارت است از

.                           (6.6)

بنابراین بزرگی zعبارت است از:

تقسیم اعداد مختلط به آسانی بوسیله  قرار دادن عدد مثبت در مخرج کسر به صورت زیر اجرا میشود :

,                (6.7)

که قسمت حقیقی وموهو می بصورت نسبت اعداد حقیقی با همان مخرج مثبت را نمایش می دهد.اینجا   قدر مطلق مجذور  z2است و همیوغ مختلط zنامیده میشود. می توانیم بنویسیم ،که مجذور طول مربوط به بردار دکارتی درمختصات مختلط است.

بعلاوه با توجه به (شکل ۶-۱)می توانیم درصفحه ی مختصات قطبی بنویسیم:

                                x=rcosө  ,                   y=rsinө                  (6.8)

z=r(cosө+i sinө)                             (6.9)

در این نمایش  rقدر مطلق یا مقدارقدر مطلق از

زاویه ی θ (=tan -1(y/x)) شناسه (ارگومان) یا فاز zنامیده میشود.با استفاده از نتیجه ای که در بخش ۶-۵ پیشنهاد شد (اما به دقت اثبات نشده )[3] نمایش قطبی متغییر مختلط را که بسیار سودمند است  به دست می آوریم                                    (6.10)                

برای اثبات نمودن این یکسانی ما از   i³=-iو 4 i  =1و... استفاده می کنیم .در بسط تیلور توابع مثلثا تی ونمایی پس از جدا کردن توانهای زوج و فرد د

     .                     (6.11)

برای مقدارهای ویژه ی      ө=π و     ө= 2/, π  بدست می آوریم:

           

ارتباط بین e و i و π جالب است.دوره ی تناوب تابع نمایی iө  e  مانند sinө , cosө ، 2π است .بعنوان یک کاربرد سریع میتوانیم مشتق شکل قانونهای جمع مثلثاتی را بدست آوریم:

                                          

                                         

                                           

حالا اجازه دهید نسبت اعداد مختلط را به طور واضح به شکل قطبی تبدیل کنیم.

مثال 6-1-2          تبدیل به شکل قطبی

با تبدیل کردن مخرج نسبت به عدد حقیقی آغاز می کنیم:

که در آن  و.  زیرا دو شاخه در ناحیه صفر تا 2π داردما جواب  π/2 > θ0>0  و º255 .60  =  θ0  را انتخاب می کنیم زیرا جواب دوم               

  π +0 θ   نتیجه میدهد : (علامت اشتباه. (i.e.

به طور متناوب  میتوانیم    و  را به شکل قطبی با زاویه ی   وتبدیل کنیم.و سپس آنها را به یکدیگر تقسیم کنیم تا بدست آوریم

برای راحتی میتوان نمایش قطبی معادله (۶-۱ )یا نمایش د کارتی[ معادله های ۶-۱و۶-۴ ]را برای متغیر مختلط برگزید.جمع و تفریق متغییرهای مختلط در نمایش دکارتی آسانترصورت میگیرد معادله ۶-٢.ضرب ، تقسیم، به توان رساندن  ویافتن ریشه در مختصات قطبی راحت تر انجام میشود معادله های ( ۶-۸ و ۶-۱۰).

اجازه دهید میانگین هندسی تابعهای چند ظرفتی بوسیله ی ثابت مختلط امتحان کنیم .

مثال   ۶-۱-۳    ضرب اعداد مختلط

وقتی متغیر مختلط  zرا در   ضرب میکنیم ،برای مثال، ۹۰ درجه پاد ساعتگرد به    چرخانده میشود.وقتی      را در     ضرب میکنیم   را بدست می آوریم که  zبوسیله آرگومان   چر خانده میشود .همچنین منحنی های معیین شده با  ثابت هنگامی که یک تابع مختلط را در آن ضرب کنیم چرخانده می شو د . هنگامی که قرار دهیم :

ثابت

دو هذلولی زیر را معیین می کنیم

       

از ضرب کردن c در عدد مختلط      ،بدست میاوریم:

هذلولی ها بوسیله ی قدر مطلق  Aمقیا س گذاری و بوسیله ی آرگومان  چرخیده میشوند.

می توان به طور تحلیلی یا نموداری ،با استفاده از شباهت با بردارها ،نشان داد (مسا له ۶.۱.۲)که مدول مجموع دو عدد مختلط از مجموع مدولهای آن دو عددکوچکتر واز اختلاف آنها بزرگتر است:

                           (6.12)

این نامساوی ها را ،در تشابه با بردارها،نا مساوی های مثلثی می نامند.

با استفاده از صورت قطبی متغییر مختلط ،معادله(۶- ۸) پی میبریم که بزرگی حاصلضرب متغیرهای مختلط با حاصلضرب بزرگیهای آنها برابر است،

.                     (6.13)

همچنین

.               (6.14)

از متغییر مختلط z،می توان تابعهای مختلط یا را ساخت . این تابعهای مختلط را میتوان به اجزای حقیقی و موهومی تفکیک کرد

                      (6.15)

شکل ۶-۳: تابع  نقاط صفحه ی را روی صفحه ی می نگارد.

که در آن تابعهای مجزای   و  حقیقی محض اند. مثلاً،اگر   ،آنگاه داریم :

جزء حقیقی تابع را با  وجزءموهومی آن را با   نشان میدهنددر معادله(۶-۱۵)

                                  (6.16)

شاید بهترین روش برای تصویر کردن رابطه ی بین متغیر مستقل  zومتغیر وابسته ی  ω   ،عمل نگاشت باشد .A یک مقدار مفروض  z=x+iy،یعنی یک نقطه ی مفروض در صفحه ی z.مقدار مختلط    نیز نقطه ای است در صفحه یω .همانگونه که در شکل( ۶-۳)نشان داده شده است ،نقاط صفحه ی z روی نقاطی از صفحه ی ω  ،و منحنیهای صفحه یz روی منحنی های در صفحه یω  نگاشته می شوند.

تابعهای متغییر مختلط

همه ی تابعهای بنیادی متغییر حقیقی را میتوان ،با نشاندن متغییر مختلط  z،به جای متغییر حقیقی  x،به دصفحه ی مختلط گسترش داد. این عمل نمونه ای از ادامه ی تحلیلی است که در بخش (۶-۵)توضیح داده خواهد شد. در معادله های(۶-۴) ، ( ۶-۹)و(۶-۸) که رابطه های بسیار مهمی هستند ،آن نکته توصیف می شود .با گام نهادن به صفحه ی مختلط فرصتهای تازه ای در تحلیل به وجود می آید .

مثال ۶-۱-۴فرمول دو مو آور:

اگر معادله ی (۶-۱۱)را به توان  nبرسانیم،داریم

einθ =(cosθ+i sinθ)n.                          (6.17)

اینک اگر تابع نمایی با شناسه   nθ  را بسط دهیم ،بدست میآوریم :

Cos nθ+i sin nθ=(cos θ+i sin θ)n.                          (6.18)

این عبارت فرمول دو مو آور است.

اکنون اگر سمت راست معادله ی( ۶-۱۸) را با استفاده از قضیه ی دو جمله ای بسط دهیم،

nθ Cos  را بصورت سریها ی توانی از  sin θ  و   cos θ  به دست خواهیم آورد

 (مساله ی ۶-۱-۵). در مسئله ها با نمونه های بیشمار دیگری از رابطه بین تابعهای نمایی ، هذلولی ،مثلثاتی در صفحه ی مختلط روبه رو خواهیم شد.

گهگاه به عبارتهای پیچیده ای هم بر میخوریم . ریشه  nام عدد مختلط    بصورت

بدست می آید.این تنها جواب عدد مختلط   zنیست زیرا حاصل  برای هر عدد صحیح   mمشود n-1. جمع ریشه هابرای =1 2 3 … n-1  m

است .بنا براین بدست آوردن ریشه ی  nام یک تابع چند مقداری  یا عمل کردن با  nمقدار،برای یک عدد مختلطz را نتیجه میدهد.

به مثال عددی زیر توجه کنید.

۶-۱-۵      جذر ریشه

هنگامی که مجذور ریشه یک عدد مختلط با آرگومانθ  بدست آوریم داریم   2/θ .با -1شروع می کنیم که1  r =در۱۸۰ = θ  است وبا1 r =در۹۰  =  θ  کهi  است و یا داریم  ۹۰ - =  θ   که

-iاست ریشه   را بدست می آوریم. اینجا نسبت پیچیده تر از اعداد مختلط است:

برای n=0,1  .

مثال دیگر لگاریتم یک متغییر مختلطz  است که میتوان با استفاده از نمایش قطبی بسط داد

                       (6.19)

دوباره این جواب کامل نیست بخاطر وجود شاخه های چند گانه ی وارون تابع tan.می توانیم به زاویه ی فاز  θ ،هر مضرب صحیحی از   2π  را بیفزاییم بدون انکه zتغییر کند به دلیل آنکه دوره ی تناوب tan، 2π است . بنا بر این معادله ی( ۶-۱۹)را می توان به صورت زیر خواند:

                  (6.20)

پارامتر nمیتواند هر عدد صحیحی باشد .یعنی ،lnz یک تابع چند  مقداری است که تعداد مقادیر آن به ازای یک تک زوج مقادیر حقیقیr و θ  ، نا متناهی است. برای اجتناب از این ابهام ،معمولا قرارداد میکنیم که  n=0وفاز را در بازهای به طول 2π   ،مثلا (π,-π  )،محدود میکنیم[4] .خطی را در صفحه ی zکه قطع نمی شود ،مثل محور حقیقی منفی در مثالی که آوردیم ،خط برش می خوانند . مقدار ln z به ازای  n=0را، مقدار اصلیln z می گویند.در آینده شرح این توابع ،از جمله لگاریتم در بخش( ۶.۶ )ظاهر میشود و به بررسی مشوح تر آنها می پردازیم.

شکل ۶-۴:  مدار الکتریکی RLC  باجریان متناوب

مثال ۶-۱-۶          مدارهای الکتریکی

دریک مدار الکتریکی با جریانIکه در مقاومت جاری می شود و بوسیله ی ولتاﮊVتحریک می شود قانون اهم حاکم است  V=IRکه  Rمقاومت است . اگر یک خود القایی L را به جای مقاومت    R بنشانیم سپس ولتاﮊ و جریان بوسیله ی معادله  ی به یکدیگر مربوط می شوند .اگر خازن Cرا به جای خود القایی  Lقرار دهیم آنگاه ولتاﮊ به بار خازن Qبستگی دارد.V=Q/C

از معادله ی بالا نسبت به زمان مشتق می گیریم  حاصل بصورت زیر بدست می آید:

بنابراین ، مداری با یک مقاومت ویک سلف و یک خازن که به طور سری بسته شده باشد (شکل ۶-۴راببینید )از معادله معمولی مختلفی پیروی میکند

                               (6.21)

اگر مدار بوسیله ی یک ولتاﮊمتناوب با بسامدω تحریک شود در مهندسی الکتریک آن یک سنت و قرارداد است تا ولتاﮊمختلط V= V0 eiωt  و جریان I=I0 eiωt    در همان فرم استفاده شود که جواب حالت پایا (حالت یکنواخت )در معادله( ۶-۲۱)است . این شکل مختلط فاز مختلفی بین جریان و ولتاﮊظاهری را نشان خواهد داد. در پایان ،مقدارهای مشاهده شده فیزیکی با بخش حقیقی نشان داده میشوند.(.etc i.e.,   ).اگرجانشین کنیم  وابستگی زمانی نمایی را ،بااستفاده از  iωI = dI/dt ،و Iلحظه ای را کامل کنیم تا Q=I/iω رادر معادله (۶-۲۱) بدست آوریم.،شکل مختلط قانون اهم را بدست می آوریم:

وz=R+i(ωL-1/ωc) را بصورت امپدانس (مقاومت ظاهری) معین میکنیم یک عدد مختلط V=IZرا به صورتی که نشان داده شده است بدست میآوریم. بیشتر مدارهای الکتریکی کا بردی  میتواند با استفاده از فقط مقاومت ظاهری  ساخته شود _آن بدون حل کردن معادله( ۶-۲۱)است

_بر طبق قوانین ترکیبی زیر:

·        مقاومت  Rاز دو مقاومت که بطور سری قرارگرفته اند برابر است با R=R1 + R2

·        خود القایی Lاز دو القاگر که به طور سری قرار گرفته اند برابر است با2 L =L1 +L

·        مقاومت  Rاز دو مقاومت که به طور موازی بسته شده اند پیروی میکند از

1/R =1/R1 +1/R2

·        خود القایی  Lاز دو القاگر که به طور موازی بسته شده اندپیروی میکند از

1/L =1/L1 +1/L2

·        خازن که از دو خازن سری تشکیل شده پیروی می کند از 1/C=1/C1 +1/C2

·        خازنی که از دو خازن موازی تشکیل شده پیروی می کنداز 2=C1 +C  C

در فرم مختلط این قانونها میتوانند در شکتهای فشرده تری وضع شوند ،بصورت زیر:

·        دو مقاومت ظا هری (امپدانس)سری به صورت 2Z = Z1 +Z   ترکیب می شوند.

·        دو مقاومت ظا هری(امپدانس) موازی به صورت 1/Z=1/Z1 +1/Z2 ترکیب می شوند.

خلاصه

اعداد مختلط محورهای اعداد حقیقی را به صفحه ی اعداد مختلط توسعه می دهند بطوری که هر چند جمله ای میتواند مضرب کاملی باشد .جمع وتفریق اعداد مختلط  شبیه بردارهای دو بعدی در مختصات دکارتی است .

بهتر است ضرب و تقسیم اعداد مختلط در مختصات قطبی صفحه ی مختلط انجام شود .

       

تابع نمایی اعداد مختلط بصورت ez = ex  (cos y + i sin y)  داده می شود .برای ez = ex  z=x+i0=x , . تابع مثلثاتی بصورت زیر میباشد :

وتابعهای هیپربولیک

      

میباشد .لگاریتم طبیعی به                        lnz = ln|z| + i ( θ + 2πn ) , n = 0 , ±1 ,…                                         تعمیم داده می شود و توانهای کلی بصورت  zp = epln z  معین می شوند.

۶-۲   شرایط  کوشی _ریمان

اکنون که با توابع مختلط یک متغییر مختلط آشنا شدیم ،به مشتق گیری از آنها اقدام میکنیم .مشتق ،مانند مشتق یک تابع حقیقی ،بنابر تعریف عبارت است از :

             (6.22)

شکل ۶-۵ :مسیرهای مختلف نزدیک شدن به 0 z

به شرط آنکه حد،از شیوه ی خاص نزدیک شدن به نقطه ی  zمستقل است .برای متغیر های حقیقی شرط آنکه مشتق    در0x=x وجود داشته باشد ،آن است که

حد سمت راست (0 x→x   ،از مقادیر بزرگتر ) با حد سمت چپ(x→x0  ،از مقادیر کوچکتر ) برابر باشد . اکنون به ازای z(یا 0 z) به صورت نقطه ای در یک صفحه ،این شرط ،که حد از جهت نزدیک شدن مستقل باشد ،بسیار محدود کننده است .نمو های  δx و δy به ترتیب در xوy  ،را در نظر بگیرید .در نتیجه داریم:

                       (6.23)

همچنین

                             (6.24)

بنابراین داریم

.                      (6.25)

حالا،حد بیان شده در معادله ی( ۶-۲۳ )را بدست می آوریم ،مطابق شکل( ۶-۵)،از دو مسیر مختلف به  z  نزدیک می شویم .نخست ،به ازای δy=0 حدδx→0  را می یا بیم . از معادله ۶-۲۴میرسیم به

                        (6.26)

با این فرض که مشتقهای پاره ای وجود داشته باشند . برای مسیر دوم نزدیک شدن ،قرار می دهیم          δx=0  و آنگاه حد0→δy  را محاسبه می کنیم . در نتیجه

                 (6.27)

برای انکه مشتق  df/dzوجود داشته باشد ،باید معادله های (۶.۲۶)و( ۶.۲۷ ) عین  هم باشند . با مساوی قرار دادن اجزای حقیقی با هم و اجزا ی مو هومی با هم (مانند مو لفه های بردارهای  مساوی )،خواهیم داشت:

          .                        (6.28)

این شرایط را شرایط کوشی_ریمان می گویند .کوشی این شرایط را کشف کرد و ریمان از آنها در نظریه ی توابع تحلیلی به نحو گسترده ای بهره گرفت . شرایط کوشی _ریمان  برای وجود مشتق  ،شرایط لازم به شمار  می آیند یعنی اگر  وجود داشته با شد ،شرایط کوشی _ ریمان  باید برقرار باشد.آنها میتوانند بطور هندسی تفسیر شوند .حالا آنها را بعنوان حاصلی از نسبت مشتقهای پاره ای می نویسیم

                    (6.29)

به اختصار

                    

شکل ۶-۶:شیبهای متعامد خطهای ثابت = وثابت=.

حالا معنای هندسی uy / ux- را بصورت شیبtan هر منحنی( ثابت =u(x,y)) بخاطر می آوریم .معادله ۱-۵۴را ببینید .و همانند آن برای( v(x,y) =ثابت) (شکل ۶-۶). بنا براین معادله

۶-۲۹بدین معنی است که ثابت = u   وثابت = v  . از طرفین منحنی ها در هر محل تقاتع  متعامد هستند  زیرا cosα = β = sin (α+90° ) و- sinα =  cosβ ایجاب میکند که 1- =  tanβ .tanα با نسبت گرفتن . به طور متناوب

حالتهایی که اگر (dx,dy)مماس برمنحنیu باشد پس عمود(- dx, dy) مماس بر منحنی v  در نقطه ی تقاطعz = (x,y) است . به طور معادل0 =  vy u y +  vx ux  ایجاب میکند که شیب بردارهای

ux , u y )     ) و( vyو vx)

عمود باشد بر عکس ،اگر شرایط کوشی _ریمان برقرار ،و مشتقهای پاره ای u(x,y) وv(x,y)   پیوسته باشند ،مشتق  df/dz  وجود خواهد داشت . برای اثبات این ادعا می توان نوشت :

                      (6.30)

درستی این عبارت به پیوستگی مشتقهای پاره ایu,v بستگی دارد.با تقسیم بر داریم:

                                                 (6.31)

اگر قرار بر تک مقدار بودن  δz/ δf  باشد ،باید وابستگی آن به  δx / δy  حذف شود .با کاربرد شرایط کوشی_ ریمان در مشتقهای نسبت به y  ،خواهیم داشت:

                 (6.32)     

با نشاندن معادله ی (۳۲-۶)در معادله ی( ۶-۳۰) می توانیم وابستگیδyوδx را باز نویسی کنیم به صورت z= δx+ iδy  و می رسیم به

                   

که نشان میدهد    تا جایی که مشتقهای پاره ای پیوسته اندبه جهت نزدیک شدن به   در صفحه ی مختلط بستگی نخواهد داشت .

نکته ی جالب این استکه شرایط کوشی _ ریمان متعامد بودن منحنیهای( u=1 c= ثابت).و(v= c2=ثابت) را تضمین میکند (با بخش ۶-۲مقایسه کنید ).کاربرد این خاصیت در مسا ئل پتانسیل در زمینه های گوناگون فیزیک نقش اساسی بازی می کند .اگر   u=1c یکی از خطوط میدان الکتریکی باشد ،   v= c2یک خط (سطح) هم پتانسیل خواهد بود و برعکس . همچنین معادله ی( ۶-۲۸) به آسانی نشان میدهد که هر دو   u   وv  در معادله ی لاپلاس صدق می کنند . بعلاوه  یک کاربرد برای نظریه ی پتانسیل در تمرین (۶-۲-۱ )ظاهر شده است.

قبلا توابع مقدماتی را به صفحه ی مختلط بوسیله ی نشاندن متغییر حقیقیx   به جای مختلطz   تعمیم داده ایم .حالا مشتقهای آشنای آنها را چک می کنیم .

مثال ۶-۲-۱      مشتق توابع مقدماتی

توابع مقدماتی را با بسطهای تیلور آنها مشخص می کنیم (بخش ۶-۵را ببینید ،با  z  →x  ،و بخش

۵-۶ را ببینید).

e z =

sin z =   ,       cos z =

ln (1+z) =

جمله به جمله دیفرانسیل می گیریم [که بوسیله همگرایی مطلق برای    e z ،  cosz  ، sin z  ،برای همه مقادیر  z    وبرای(1+z) ln برای ׀z׀<1   بر قراراست] و می بینیم که

=

تعمیم همه ی نتایج مشتق حقیقی به حوزه ی مختلط ،به سادگی با نشاندنz→x میسر می شود .

تاریخ زندگی Riemann,Bernhard  Georg  Friedrich. ریمان،ریاضیدان آلمانی،در سال 1826 در Hannover بدنیا آمد و بر اثر مرض سل در سال1866 در Selasca ،ایتالیا در گذشت. اوپسرپیشوای روحانی کلیسای لوتران ، اومطالعه خود را از خداشناسی به ریاضی در دانشگاه  Göttingen  تغیر داد ،و در سال 1851،از همین دانشگاه موفق به دریافت درجه یPh.D.  شد. رساله ی دکتری او را گاس تأیید کرد .او در بسیاری از شاخه های علم  ریلضی با اینکه در  سن چهل سالگی دیده از جهان فرو بست ،همکاری کرد و شرکت داشت . بیشتر شهرتش بدلیل پیشرفت فضاهای استاندارد (منحنی) از خاصیت اصلی و ذاتی هندسی آنها به صورت خمیدگی (مقدار انحنا) است . مهمترین موضوع رسله ی دکتری او Habilitation ،یا Venia legendi که گاوس به آن توجه کرد و عمیقاً تحت تا ثیر او قرار گرفت . نیم قرن بعد هندسه ی ریمانی پایه ای برای General  Relativity   ُEinstein   شد . تحلیل عمیق ریمان از تابع مختلطzeta  شالوده و بنیادی برای دلیل اولیه ی نخستین قضیه ی اعداد در سال 1898 توسط ریاضی دانهای فرانسوی J.Hadamard  وC.de la Valléepoussin  و دیگر پیشرفت مهم در قضیه توابع تحلیلی از متغیر مختلط گشت. فرضیه ی او درباره ی توزیع صفرهای  non trivial  از تابع zeta ،بود که نتایج بسیاری در تحلیل نخستین قضیه ی اعداد  دارد ،بیشتر شهرت ریمان برای مسا ئل حل نشده در علم ریاضی امروز ست.

توابع تحلیلی

سرانجام اگرf(z) در 0z = z   و در ناحیه ی کوچکی اطراف0 z   مشتق پذیر باشد ،می گوییم f(z)      در 0z = z   تحلیلی است[5] . اگر  f(z)   در همه ی نقاط صفحه ی مختلط (متناهی) تحلیلی باشد ،آن را یک تابع تام می نامیم . نظریه ای که در اینجا درباره ی متغییرهای مختلط مطرح می کنیم ،اساسا نظریه ی توابع تحلیلی متغییر های مختلط است ،که اهمیت حیاتی شرایط کوشی _ ریمان را باز گو می کند .مفهوم تحلیلی نبودن که در نظریه های پیشرفته فیزیک جدید خیلی پیش می آید ،در نظریه ی پاشندگی (ذرات بنیادی یا نور )نقش مهم بازی میکند . اگر در نقطه ی( z ) ׳ f  در نقطه ی   0z = z     وجود نداشته باشد آن نقطه 0z   را یک نقطه ی تکین می نامند که بررسی آن را به بخش( ۷-۱) مو کول میکنیم .

برای نمایش دادن شرایط کو شی _ ریمان ،دو مثال ساده ی زیر را در نظر می گیریم.

مثال ۶-۲-۲

اگر ²  z = f(z)  باشد . جزءحقیقی آن  عبارت است از u(x,y)=x2  - y2    و جزء موهومیش  عبارت است ازv(x,y)=2xy .با توجه به معادله ۶.۲۸،

     ,      

می بینیم که شرایط کوشی _ ریمان در تمام صفحه ی مختلط  به ازای ²  z = f(z)  برقرار است . چون مشتقهای پاره ای آشکارا پیو سته اند ،نتیجه می گیریم که ²  z = f(z)  تحلیلی است.

مثال ۶.۲.۳

را در نظر بگیرید.u =x  و v =-y  . با بهره گیری از شرایط کو شی_ ریمان داریم:

              

شرایط کوشی _ ریمان  برقرار نیست و  هم تابعی تحلیلی از  z  نیست  نکته ی جالب پیوسته بودن  است که مثالی از تابعی  به شمار می آید که همه جا پیوسته  است  ولی در هیچ جا مشتق ندارد.

خلاصه

مشتق یک تابع حقیقی از متغییر حقیقی اساسا  یک مشخصه ی مو ضعی است ،که فقط در یک همسایگی موضعی اطلا عاتی درباره ی تابع ،مثلا به صورت یک بسط تایلور بریده ،ارائه می کند . وجود مشتق یک تابع  متغییر مختلط  مضمونهای  جامعتری را درباره ی تابع در اختیارمان می گذارد .اجزای حقیقی و موهومی تابع تحلیلی ما باید به طور جداگانه در معادله لاپلاس صدق کند این موضوع در مساله (۶-۲-۱) آمده است . علاوه بر این ،تابع تحلیلی ما وجود مشتقهایی از همه ی مرتبه های بالاتر را تضمین میکند (بخش۶-۴).مشتق ،با این مفهوم ،نه تنها بر رفتار مو ضعی  تابع مختلط حاکم  است بلکه رفتار دور آنرا نیز کنترل می کند.

۶-۳      قضیه ی انتگرال کوشی

انتگرال های پربندی

پس از بررسی مشتق گیری ،به انتگرال گیری میپردازیم . انتگرال متغییر مختلط روی یک پربند در صفحه ی مختلط را می توان شبیه به انتگرال (ریمان) یک تابع حقیقی در امتداد محور حقیقی         xوانتگرال خطی بردارها درفصل ۱  تعریف کرد.

شکل ۶-۷ :مسیر انتگرال

انتگرال پر بندی را می توان بصورت زیر تعرف کرد:

                      (6.33)

که در آن مسیری که(x1  , y1  ) را به(x2 , y2 ) متصل می کند با ید مشخص باشد .در مسیرc       ، پارامتر ها به صورتx(s) و y(s)  هستند  پس داریمdx→،وdy→  .

این تعریف انتگرال مختلط را به مجموع مختلط انتگرالهای حقیقی تبدیل می کند . این کار تا حدودی مانند تعویض انتگرال برداری با جمع برداری انتگرالهای اسکالر است ،بخش(۱-۹) .

پر بند0 z  تا ׳ 0 z   را با اختیار کردن n-1  روی پربند  . . .و  2 z1 , z ، به n بازه تقسیم می کنیم (شکل ۶-۷). مجموع زیر را در نظر بگیرید :

                             (6.34a)

که در آن         نقطه ای روی منحنی بینzj-1  وj z   است . اینک قرار میدهیم∞  →  n                        ،در نتیجه به ازای همه ی مقادیرj .

اگر  وجود داشته  باشد و مستقل از جزئیات انتخاب نقاط j z   و باشد ،در این صورت

                      (6.34b)

عبارت سمت راست معادله(۶-۳۴b) را انتگرال پربندی   (در طول پربند مشخص c   از       تا  )مینامند .هر گاه انتگرال گیری در طول پربند در جهت خلاف باشد ،     تغییر علامت می دهد و در نتیجه انتگرال تغییر علامت می دهد .

یک مثال مهم انتگرال پربندی در زیر آمده است .

مثال ۶-۳-۱  انتگرال کوشی برای توانها

می خواهیم مقدار انتگرال را که در آن Cدایره ای به شعاع ومبدأ  در جهت مثبت ریاضی (پاد ساعتگرد) است را بدست می آوریم. در مختصات قطبی معادله ی (۶-۱۰)دایره  را به صورت  و مشخص می کنیم .برای عدد صحیح بدست می آوریم :

       

                   (6.35)

زیرا  دوره ی تناوب   است.در صورتیکه برای  داریم :

                       (6.36)

که مستقل از  است.

متناوباً، می توانیم انتگرال گیری در اطراف یک مستطیل با گوشه های

 بدست می آوریم

برای اینکه هر نقطه ی گوشه یکبار بعنوان حد بالایی حد پایینی ظاهر می شود ،حذف می شود . همچنین برای  قسمتهای حقیقی لگاریتمها حذف می شوند ،اما قسمتهای موهومی آنها مستلزم افزایش شناسه ها (آرگومانهای) نقطه های  تا ،و هنگامی که به اولین گوشه  بر می گردیم متوجه می شویم که شناسه ی آن به اندازه ی  افزایش یافته است .این به خاطر چند مقداری بودن لگاریتم است به طوری که در طرف چپ بعنوان مقدار انتگرال است .

بنا براین ،مقدار انتگرال تابعی چند مقداری مستلزم این است که هر کدام در شکل پیوسته ی روی مسیر داده شده ،به هم برسند .این انتگرالها  مثالهایی از قضیه ی انتگرال کوشی هستند ،که برای تابعهای کلی در بخش بعدی اثبات می کنیم .

اثبات قضیه ی انتگرال کوشی به کمک قضیه ی استوکس

قضیه ی انتگرال کوشی یکی از دو قضیه ی اصلی در نظریه ی رفتار توابع متغییر مختلط است . نخست اثباتی  برای این قضیه تحت شرایط نسبتا محدود کننده کاربرد های فیزیکی ارائه می کنیم ،این شرایط از دید ریاضیدانانی که نظریه های  تجریدی زیبا را وضع می کنند غیر قابل تحمل است ،اما معمولا در مسائل فیزیکی صدق می کنند.

حالتهای انتگرال کوشی در زیر آمده است .

شکل ۶-۸ :پر بند بسته ی   C  در داخل ناحیه ی همبند ساده

اگر تابع   تحلیلی (و در نتیجه تک مقدار باشد )و مشتقهای پاره ای آن در ناحیه ی همبند ساده    پیوسته باشند ،انتگرال خطی     روی هر مسیر بسته ی  C   در  R [6] (شکل ۶-۸)صفر خواهد شد ،یعنی                        (6.37)

علامت     تاکیدی بر بسته بودن مسیر است[7] .

قضیه ی انتگرال کوشی به این صورت را میتوان با کاربرد مستقیم قضیه ی استوکس

(بخش ۱-۱۱)اثبات کرد. با   و   داریم:

             (6.38)

این دو انتگرال خطی را می توانیم به کمک قضیه ی استوکس به انتگرالهای سطحی تبدیل کنیم ،این کار فقط وقتی مجاز است که مشتقهای پاره ای داخل  C   پیوسته باشند . برای به کار بردن از قضیه ی استوکس ،توجه می کنیم که دو انتگرال آخری  در معادله ۶-۳۸ به طور کامل حقیقی هستند .با استفاده از عبارت :

حالتهای قضیه ی استوکس (یا گرین) به طوری که ( منطقه A    احاطه شده است بوسیله C   )

                     (6.39)

برای انتگرال اول در جزءآخر معادله (۶-۳۸ )قرار می دهیمu=Vx   و v=-Vy [8] . در نتیجه داریم:

                        (6.40)

در انتگرال دوم سمت راست معادله (۶-۳۸)، قرار می دهیم u=Vy  و v=Vx  . در اینجا نیز با بهره گیری از قضیه ی استوکس داریم

 .                          (6.41)

با بهره گیری از شرایط کوشی _ ریمان که،چون     تحلیلی فرض شود ،باید این شرایط بر قرار باشد ،هر انتگرالده صفر می شود و داریم

                  (6.42)

نتیجه قضیه ی انتگرال کوشی به این قرار  است که انتگرال خطی توابع تحلیلی فقط تابع نقاط انتهایی است ،و نسبت به مسیر انتگرال گیری مستقل است :

                        (6.43)

اینجا نیز دقیقا شبیه به مورد نیروی پایستار ،در بخش( ۱-۱۲) است .

خلاصه اینکه ،انتگرال کوشی در مسیر بسته  برابر صفر است هنگامی تابع  در ناحیه ی همبند ساده تحلیلی است که مرز آن انتگرال بسته ای باشد .انتگرال کوشی دو بعدی تحلیلی ازانتگرالهای خطی نیروهای پایستار است.

نواحی همبند چند گانه

قضیه ی انتگرال کوشی را در اصل برای یک ناحیه ی همبند ساده بیان کردیم. این محدودیت را می توان با ایجاد یک سد ،یعنی یک خط برش ،به آسانی از میان برداشت . ناحیه ی همبند چند گانه در شکل (۶-۹ )را در نظر بگیرید که در آن تابع   در داخل تعریف نشده است .قضیه ی انتگرال کوشی برای پر بندCکه در شکل نشان داده شده است،صادق نیستفولی میتوانیم پر بند ׳ C  را چنان تشکیل دهیم که این قضیه برای آن بر قرار باشد .یک بریدگی از ناحیه ی ممنوع داخلی   به ناحیه ی ممنوع خارجیR ایجاد می کنیم ،آنگاه پربند جدید  ׳ C     را مطابق شکل( ۶-۱۰)به وجود می آوریم .

شکل ۶-۹: پر بند بسته ی C در یک ناحیه ی همبند چند گانه

شکل ۶-۱۰:تبدیل یک ناحیه ی همبند چند گانه به یک ناحیه ی همبند ساده

پر بند جدید ׳ C که از نقاط ABDEFGA   می گذرد ،هرگز خط برشی کهR  را به یک ناحیه ی همبند ساده تبدیل کرده است ،قطع نمی کند .مشابه سه بعدی این روش را در بخش( ۱-۱۳) برای اثبات قانون گاوس به کار بردیم . با استفاده از معادله ی (۶-۴۳ )داریم:

                      (6.44)

زیرا در طول خط برش پیوسته است و پاره خطهای DE  وGA  می توانند به دلخواه به یکدیگر نزدیک باشند .با استفاده از قضیه ی انتگرال کوشی برای ناحیه ی     ،که دیگر به صورت همبند ساده در آمده است ،داریم

                                           (6.45)

در اینجا نیز از معادله ی ۶-۴۳ بهره می گیریم و قرار می دهیم1׳ABD→C و2׳-C  EFG→

در نتیجه

                 (6.46)

که در آن     و      هر دو هم جهت (پاد ساعتگرد ) پیموده می شوند .

باید خاطر نشان ساختکه خط برش در اینجاصرفا به خاطرراحتی محاسبات  ریاضی و برای آنکه کاربرد قضیه ی انتگرال کوشی میسر شود ،ایجاد شد .   در ناحیه ی طوقه ای تحلیلی است ،در نتیجه لزوما باید روی هرخط برشی که در این ناحیه  ترسیم  میشود ،پیوسته و تک مقدار باشد.

تاریخ زندگی Cauchy,Augustin Louis, Baron کوشی ، ریاضی دان فرانسوی ،در سال 1789 در پاریس بدنیا آمد و در سال 1857در Sceaux  ، فرانسه  دیده از جهان فرو بست . در سال 1805،وارد Ecole Polytechnique, شد ، که در آنجا Ampere یکی از استادان او بود .در سال 1816 هنگامی کهMonge به دلایل سیاسی اخراج  شد،  او جانشین  Monge در Académie des Sciences گشت. او را  پدر تحلیل مختلط مدرن می نامند  ، بیشتر شهرتش سهم او در فرمول انتگرالی برای تابعهای تحلیلی و مشتقهای آنها بود اما او همچنین در معادله های مختلط جزئی و قضیه ی دیگر در electrodynamics سهم بسزایی داشته است .

فرمول انتگرال کوشی

مانند بخش قبل،تابع  را چنان در نظر می گیریم که روی پر بند بسته یC   و در ناحیه ی داخلی محاط در آن ،تحلیلی باشد .میخواهیم فر مول انتگرال کوشی را اثبات کنیم

                  (6.47)

که در آن      نقطه ای در داخل ناحیه  ی داخلی محاط در C  است . این ،قضیه ی دوم از قضیه ی اساسی است .توجه کنید که z  روی پربند Cزمانی که      در داخل آن است،0 ≠0 z - z               و انتگرال معادله ی (۶-۴۷) خوش تعریف است .با آنکه     تحلیلی فرض شده است ،انتگرالده  داخلC  در نقطه ی 0z=z  تحلیلی نیست .اگر    و      در داخل   C  قرار بگیرد ،انتگرالده منفرد (خاص) است و این تکینه به صورت اولین مرتبه  یاقطب ساده تعریف می شود . حضور قطب برای برقرار بودن فرمول کوشی و به خوبی در مورد  n=-1  از مثال( ۶-۳-۱)نیز اساسی است . اگر شکل پربند  مطابق شکل( ۶-۱۲)و(یا شکل ۶-۱۰،بخش ۶-۳) تغییر دهیم ،می توانیم قضیه ی انتگرال کوشی را به کار ببریم. از معادله ی( ۶-۴۶)داریم

                         (6.48)

شکل ۶-۱۲:طرد نقطه ی تکین

که C  پر بند بیرونی اصلی و  2C دایره ای است که نقطه ی   را احاطه کرده  است و در سوی  پاد ساعتگرد پیموده می شود . به دلیل شکل دایرهای مسیر در اطراف   ،از نمایش قطبی استفاده می کنیم. در اینجاr کوچک است ،و سرانجام آن را به سوی صفر میل می دهیم . داریم

.

حد 0→ r   را محاسبه  میکنیم ،داریم

                 (6.49)

با توجه به اینکه     تحلیلی است در نتیجه در 0z=z   پیوسته است .به این ترتیب ،فرمول انتگرال کوشی اثبات می شود (معادله ۶-۴۷).

به نتیجه ی جالب توجهی رسیده ایم .

با معلوم بودن مقدار تابع تحلیلی  روی پر بند بسته ی C   ،مقدار آن در هر نقطه ی0z=z داخل پربند مشخص می شود ،این مشخصه ،با صورت دو بعدی  قانون گاوس (بخش ۱-۱۳) تشابه زیادی دارد که در آن بزرگی بار خطی داخلی بر حسب انتگرال سطحی  استوانه ای میدان الکتریکی E    داده می شود. یک مورد مشابه دیگر عبارت است از تعیین یک تابع در فضای حقیقی توسط انتگرال آن تابع و تابع گرین  متناظر (ومشتقهای آنها) روی سطح مرزی . نظریه ی پراش کیرشهف مثالی از این مورد است .

بر این تاکید  کردیم که  0z   نقطه ای در داخل است . اگر   0z  نقطه ای در خارج باشد  چه اتفاق می افتد ؟ در این مورد  تمام انتگرالده  در داخل و روی C تحلیلی خواهد بود ؛و قضیه ی انتگرال کوشی ،(بخش۶-۳) برقرار می شود و انتگرال صفر می شود . داریم

  

مشتقها

با استفاده از فرمول انتگرال کوشی  می توان عبارتی برای مشتق  به دست آورد و از معادله ی

(۶ -۴۷) برای تابع تحلیلی  داریم

در این صورت با استفاده از تعریف مشتق معادله( ۶-۲۲ )داریم ،

                                             (6.50)

این نتیجه را می شد به کمک مشتق گیری نسبت به0z  از انتگرالده در معادله ی( ۶-۴۷ )به دست آورداین رهیافت صوری ،نزدیک به صحیح است ،اما تحقیق درستی آن باید به کمک تحلیل بالا انجام شود . انتگرالده  در 0z=z  تکینه است اگر ،و این تکینه برای مرتبه دوم قطب تعریف شده باشد .

این روش مشتق گیری رامیتوان تکرار کرد .معادته ی( ۶-۵۰)را برای   و                  مینویسیم .تفاضل این دو تابع را بر تقسیم ،و سر انجام  حد را محاسبه می کنیم :

دقت کنید که  چنانکه باید ؛از جهت مستقل است . اگر  ،نتیجه می گیریم که   یک تکینه دارد،که برای مرتبه سوم قطب تعریف شده است . با ادامه ی این روند ،می رسیم به[9]

                       (6.51)

یعنی ،شرط تحلیلی  بودن        وجود نه تنها مشتق اول بلکه مشتق  از همه ی مرتبه ها را ضمانت می کند . دقت کنید که انتگرالده قطبی از مرتبه ی  n+1   در 0z=z  اگر   باشد دارد. مشتقهایبه خودی خود تحلیلی اند . دقت کنید که در این گذاره ،قضیه ی انتگرال کوشی به روایت گورسا مد نظر است .(فرض کنید وجود داشته باشد اما نیازی نیست که پیوسته باشد  برای این دلیل ، th ed 5  از کتاب روشهای ریاضی نوشته ی وبر را ببینید . ).به همین دلیل  سهم گورسا در طرح و ترویج نظریه ی متغیر های مختلط چنین چشمگیر است .

قضیه ی موره آ

یکی دیگر از کاربردهای فرمول انتگرال کوشی در اثبات  قضیه ی موره آست، قضیه ی یاد شده وارون قضیه ی انتگرال کوشی است . بنا بر این قضیه بصورت زیر است:

اگر تابع  در ناحیه ی همبند سادهR  پیوسته باشد و برای هر پر بند بسته یC   در داخل  R  داشته باشیم :  ،آنگاه    در تمام ناحیه ی R تحلیلی است .

انتگرال   از z1 تا  2z  را محاسبه می کنیم . از آنجا که انتگرال روی هر مسیر بسته صفر است ،انتگرال از    مستقل از مسیر است و فقط به نقاط انتهایی بستگی دارد . حاصل انتگرال گیری را F(z) می نامیم  ،در نتیجه

            (6.52)

اتحاد زیر را می نویسیم

         (6.53)

که t  یک متغیر مختلط دیگر است .اینک با توجه به پیوسته بودن  ،حد   را حساب می کنیم :

                  (6.54)

پیوسته است[10]. بنابراین،

                (6.55)

بنابراین ،با استفاده از تعریف مشتق (معادله ی ۶-۲۲).ثابت کردیم که در نقطه ی    ،           وجود دارد و برابر است با  .پس ازz1    می تواند هر نقطه ای در  R  باشد ،در نتیجه            F(z) تحلیلی است . اینک با استفاده از فرمول انتگرال کوشی (با معادله ی ۶-۵۱مقایسه کنید )نتیجه می گیریم که تابع   نیز تحلیلی است . به این ترتیب ،قضیه ی موره آ اثبات می شود .

بار دیگر به مشابه الکتروستاتیکی می پردازیم ؛ می توانیم     را برای  نشان دادن میدان الکتروستاتیکی E  به کار بریم .اگر بار خالص داخل هر ناحیه ی بسته در   R  صفر باشد (قانون گاوس)،چگالی بار در همه جای R   صفر است . به عبارت دیگر ،به کمک استدلال بخش( ۱-۱۲ )،   اگر نمایشگر  یک نیروی پایستار  باشد ،همواره می توان آن را به صورت مشتق  یک تابع پتانسیل F(z)     نوشت.

یک کاربرد مهم فرمول انتگرال کوشی ، نا مساوی کوشی است . اگر     تحلیلی و کراندار باشد ،   روی دایره ای به شعاع r  برای مبدا نتیجه می دهد

               ( 6.56 )              (نا مساوی کوشی)                          

که کران بالا را برای ضرایب بسط تایلورش می دهد.برای اثبات معادله( ۶-۵۶ )،ابتدا                                       را تعریف می کنیم واز انتگرال کوشی برای بدست آوردن  an   استفاده میکنیم :

یک نتیجه فوری (ضروری) از نا مساوی( ۶-۵۶) قضیه ی لیوویل است .

اگر تابع تحلیلی و کراندار باشد در صفحه ی اعداد مختلط مقدار آن ثابت است .

در واقع ،اگر برای همه ی مقادیر z باشد آنگاه نا مساوی کوشی

 (معادله ی ۶-۵۶)نتیجه می دهد :

به طوری که  برای  .بنابراین،.

برعکس،انحراف کم تابع تحلیلی از مقدار ثابت ایجاب می کند که باید آخرین تکینه جایی در صفحه ی مختلط بی نهایت وجود داشته باشد.باید تابع را در سری لوران حول تکینه بسط دهیم و همچنین بایست از تکینه ها برای بهبود بخشیدن قدرتمندی و کاربردی حساب جبر مانده ها در فصل۷  استفاده کنیم.

یک کاربرد مشهور قضیه ی لیوویل بدست آوردن قضیه ی اساسی جبر(به دلیل Gauss .(C.F است ،حالتی که هر چند جمله ای  با   و    ریشه دارد .برای اثبات این مطلب فرض می کنیم  صفر ندارد ،آنگاه  تحلیلی و کراندار است بطوریکه  .از این رو  ثابت قضیه ی لیویل است ._تناقض(برهان خلف).بنابراین ریشه ای دارد که می توانیم تقسیم کنیم . آنگاه فرآیند را برای چند جمله ای از درجه ی1- n   تکرار می کنیم که منجر می شود به اثبات حکم که  دقیقاً n ریشه دارد .

خلاصه

خلاصه اینکه ،اگر تابع تحلیلی  روی ناحیه ی همبند ساده R مرزی Cداده شده باشد ،آنگاه مقادیر تابع و همه ی مشتقات در هر نقطه داخل ناحیه ی R در شرایط انتگرالهای کوشی شناخته می شوند

       

این انتگرالهای کوشی در شمار زیادی از کاربردهای فیزیک خیلی مهم هستند .

۶-۵    بسط لوران

بسط تایلور

فرمول انتگرال کوشی در بخش قبل راهی را برای استخراج روایت دیگری از سری تایلور (بخش۶-۵)گشود اما این بار برای توابع متغیر مختلط می گشاید . فرض کنید می خواهیم     را حول نقطه ی 0 z=z  بسط دهیم و نقطه ی  1 z=z  در نمودار آرگاند ،نزدیکترین نقطه به نقطه ی  باشد که در ان تابع غیر تحلیلی  است . دایره یC را به مرکز 0 z=z  وبه شعاع و>  رسم میکنیم شکل (۶-۱۳).

با توجه به این فرض که 1 z نزدیکترین نقطه ای است که    در آن غیر تحلیلی است ،      لزوما در داخل وروی  C  تحلیلی است.

با استفاده از معادله ی (۶-۴۷ )،فرمول انتگرال کوشی ،داریم

          

              

                      (6.57)

شکل ۶- ۱۳ : دامنه ی دایره ای برای بسط تیلور

در اینجا نقطه ای روی پر بند C و z نقطه ای در داخل آن است .بسط مخرج انتگرالده در معادله ی ۶-۵۷ با استفاده از قضیه ی  دو جمله ای که به طور کلی برای متغیر های مختلط در مثال ۶-۲-۱ برای دیگرتواع مقدماتیبه طور دقیق مجاز نیست ،زیرا هنوز قضیه ی دو جمله ای را برای متغیر های مختلط و دیگر توابع مقدماتی اثبات نکردهایم . در عوض ،اتحاد زیر را درنظر می گیریم(برای مثال t)

                    (6.58)

درستی این اتحاد را می توان با  ضرب کردن  دو طرف آن در1-t  ،به سادگی تحقیق کرد . این سری نامتناهی ،با در نظر گرفتن روشهای بخش( ۵-۲)،به ازای   همگراست.

برنشاندن جملات مثبت   در سری حقیقی مقدار قدر مطلق   اعدادمختلط،معیارهای همگرایی فصل ۵ را به شرطهای صحیح همگرایی برای سری های مختلط تبدیل می کند .

اینک برای نقطه ی z   در داخل  C  داریم  ،و معادله ی( ۶-۵۷) ،با استفاده از معادله ی( ۶- ۵۸ )به صورت زیر در می آید

             (6.59)

با توجه به آنکه معادله ی( ۶-۵۸ )به ازای  به طور یکنواخت  همگراست ،میتوانیم ترتیب انتگرال گیری و مجموع یابی را عوض کنیم ،در این صورت خواهیم داشت:

                  (6.60)

با در نظر گرفتن معادله ی( ۶-۵۱) می رسیم به

                (6.61)

این همان بسط تایلور  مطلوب است . توجه کنید که این بسط با فرض تحلیلی بودن   به ازای          برقرار است . این بسط درست مانند سری توانی متغیر های حقیقی  بخش( ۷-۵) به ازای یک0z  معلوم ،یکتا است .

با استفاده از بسط تایلور      میتوان قضیه ی دو جمله ای را استخراج کرد( مسئله ۶-۵-۲ ).

اصل انعکاس شوارتز

با استفاده از بسط دو جمله ای   به ازای عددهای صحیح  n  به سادگی  می توان دید که همیوغ مختلط این تابع ،معادل است با همین تابع  از همیوغ مختلط،برای    0x  حقیقی ، یعنی

               (6.62)

با این استدلال به اصل انعکاس شوارتز می رسیم :

اگر تابع   : (۱) در ناحیه ای شامل محورحقیقی تحلیلی ،و (۲) به ازای مقدار حقیقی z   ،حقیقی باشد ،آنگاه داریم                                    (  63 . 6 )

این می تواند به صورت زیر اثبات شود . (شکل ۱۴-۶)

شکل ۶-۱۴: انعکاس شوارتز

اگر با بهره گیری از معادله ی (۶-۶۰ )تابع    را حول نقطه ی (غیر تکین )x0     روی محور حقیقی بسط دهیم ،خواهیم داشت

                   (6.64)

چون    در      تحلیلی است ،این بسط تایلور وجود دارد.      به ازای مقدار حقیقی    z،حقیقی است ،از این رو  باید به ازای همه ی مقادیر   n  حقیقی باشد . در نتیجه ،با استفاده از معادله ی ( ۶-۶۲ )روشن است که (اصل انعکاس شوارتز )معادله ی( ۶-۲۳) برقراراست .مسئله ی

(۶-۵-۶) صورت دیگری از این اصل است .اصل انعکاس شوارتز برای همه ی توابع مقدماتی به کار برده می شود و این توابع در مثال (۶-۲-۱)بخصوص به کار رفته اند .

ادامه ی تحلیلی

طبیعی است که فکر کنیم مقدار از تابع تحلیلیبه عنوان یک نهاد مثبت که معمولاًدر ناحیه ی صفحه ی مختلط محدود می شود ،تعیین کرد.برای مثال سری تیلور (شکل ۶-۱۵)

پس داخل دایره ی همگرایی که شعاع آن فاصله ی   از مرکز تا نزدیکترین تکینه ی  در داده شده ،تحلیلی است .اگر نقطه ای داخلانتخاب کنیم به طوری که دورتر از  تا تکینه ی باشد و بسط تیلوررا برای آن بدست آوریم ( در شکل ۶-۱۵ )،آنگاه دایره ی همگرایی  معمولاًبیشتر از دایره ی اول  گسترش خواهد یافت .در ناحیه ی همپوشانی  دو دایره ی   و   تابع به صورت  یکتا و منحصر به فرد معین می شود .در ناحیه ای از دایره ی    که بیشتر از   گسترش یافته ، منحصر به فرد با سری تیلور برای مرکز  معین می شود و در آنجا تحلیلی است،اگر چه سری تیلور برای مرکز   طولانی تر از همگرایی آنجا نیست .بعد از Weierstrass این فرآیند ادامه ی تحلیلی نامیده شد که این تعین می کند که تابع تحلیلی در جمله های اصلی خودش معین (در،.e.g )وهمه ی جمله های اصلی تابع ادامه می یابند .

شکل ۶-۱۵: ادامه تحلیلی

یک مثال خاص تابع meromorphic است .

                   (6.65)

که یک قطب ساده در   دارد و در جاهای دیگر تحلیلی است .بسط سری هندسی

                       (6.66)

برای همگراست(.i.e ،داخل دایره ی  در شکل ۶-۱۵).

راحول  بسط می دهیم به طوری که

           (6.67)

که به ازای  همگراست[11] . دایره ی همگرایی  2C  است در شکل(۶-۱۵). اینک     از طریق بسط در (معادله ی ۶-۶۷) تعریف شده است ؛ 2S   با 1S  همپوشی دارد و در صفحه ی مختلط گسترش (ادامه )یافته است . این گسترش یک ادامه ی تحلیلی است ،و هر گاه با نقاط تکین منزوی  سرو کار داشته باشیم ،می توانیم تابع را به هر صورتی ادامه دهیم .معادلات( ۶-۶۵)-(۶-۶۷)سه نمایش  متفاوت برای  یک تابع  به شمار  میآیند . هر یک از این نمایشها ،حوزه ی همگرایی خاص  خود را دارد . معادله ی (۶-۶۶ )یک سری مکلون  است . معادله ی (۶-۶۷ )بسط تایلور حولz=i . است .

ادامه ی تحلیلی می تواند صورت های  مختلفی به خود بگیرد و بسط سری که در اینجا در نظر گرفتیم ،لزوما مناسبترین  روش  نیست . به عنوان یک روش دیگر ،در بخش ( ۱-۱۰)،تابع فاکتوریل را حول نقطه های تکین منزویz=-n,n=1,2,3,….. بسط می دهیم .

شکل ۶-۱۶:

سری لورن

بار ها اتفاق می افتد که به توابعی بر می خوریم که در یک ناحیه ی طوقه ای ،مثلا به شعاع داخلی r    و شعاع خارجیR ،مطابق  شکل( ۶-۱۶)تحلیلی اند .با ترسیم یک خط برش برای تبدیل ناحیه ی مورد نظر به یک ناحیه ی همبند ساده ،از فرمول انتگرال کوشی بهره میگیریم؛برای دو دایره ی 1 C  و  2   C به مرکز  z=z0 و به ترتیب ،با شعاعهای2 r   و 1 r ،به طوری که   داریم[12]

             (6.68)

توجه داشته باشید که یک منها در معادله ی( ۶-۶۸ )وارد شده است تا پر بند 2   C (مانند1 C  ) در جهت مثبت (پاد ساعتگرد ) پیموده شود . اینک به کمک معادله ی (۶-۶۸ )درست مانند معادله ی( ۶-۵۷) در اثبات سری تایلور ،عمل می کنیم .هر یک از مخرجها را به صورت  می نویسیم و به کمک قضیه ی دو جمله ای حاصل  از سری تایلور معادله ی( ۶-۶۱ )بسط میدهیم .

با توجه به اینکه  برای 1 C، و برای 2   C ،  داریم

         

                        (6.69)

علامت منها در معادله ی( ۶- ۶۸ )،در بسط دو جمله ای ادغام شده است .

اولین سری را  1S   و سری دوم را   2S  می نامیم .

                         (6.70)

این یک بسط تایلور معمولی است و به ازای  یعنی همه ی مقادیر z    در داخل دایره ی بزرگتر  1 C   همگراست . سری دوم در معادله ی(۶-۶۸)،عبارت است از

                  (6.71)

که به ازای  یعنی همه ی مقادیر z  بیرون از دایره ی کوچکتر 2   C همگراست .به یاد داشته باشیدکه2   C   در جهت پادساعتگرد پیموده می شود . با ادغام این دو سری می توان سری زیر را به دست آورد[13] (سری لورن)

                      (6.72)

که در آن

                               (6.73)

در معادله  ی( ۶-۷۵ )دیگر همگرایی بسط دو جمله ای  مشکلی ایجاد نمی کند ؛از این رو C می تواند هر بندی در داخل ناحیه ی طوقه ای  باشد  ،که را یک بار در سوی  پادساعتگرد  دور بزند.انتگرالها از پر بندی مستقل هستند و معادله ی(۶-۷۲) سری لوران  یا بسط لوران  است.

بهره گیری از خط برش شکل (۶-۱۶ )برای تبدیل ناحیه ی  طوقه ای به یک ناحیه ی همبند ساده مناسب  است . با توجه به آنکه تابع ما در این ناحیه  ی طوقه ای ،تحلیلی( و در نتیجه تک مقدار) است ،خط برش نقش اساسی ندارد ،و عملا در نتیجه ی نهایی ،معادله ی (۶-۷۲ )ظاهر میشود .اگر

باشد،برای  انتگرالدهدر z=z0 تکینه است .انتگرالده قطبی از مرتبه ی1+n در  z=z0 دارد.اگرصفر مرتبه اولی در z=z0 دارد،پسقطبی از مرتبه یn دارد،....ارائه ی قطبها برای اعتبار و درستی فرمول لوران ضروری است.

ضرایب سری لوران را حتما نباید به کمک محاسبه ی انتگرالهای پر بندی (که چه بسا خیلی هم پیچیده باشند ) به دست آورد .از روشهای دیگری نظیر بستهای معمولی  سری برای محاسبه ی این ضرایب می توان بهره برد .

در فصل ۷،مثالهای زیادی  از سری لوران را خواهیم دید. در اینجا برای  نشان دادن کاربرد معادله ی( ۶-۷۲)،یک مثال ساده می آوریم .

مثال ۶-۵-۱     بسط لوران بوسیله ی انتگرالها

فرض کنید   .اگر راانتخاب کنیم،  ،آنگاه R=1و با توجه  به آنکه  در    واگراست.و با استفده از معادله های( ۶-۷۳)و(۶-۷۲)داریم :

            

                            (6.74)

در اینجا نیز،با تعویض ترتیب مجموع یابی و انتگرال گیری (سریهای همگرای یکنواخت )، داریم

                       (6.75)

با بهره گیری از شکل قطبی مانند معدله ی قبل( ۶-۳۵) و(از مثال ۶-۳-۱) داریم

                                                             (6.76)

به عبارت دیگر

                    (6.77)

بسط لوران برای   (معادله ی ۶-۷۲)به صورت زیر در می آید

            (6.78)

البته   ، می توانستیم  بسط لوران این تابع ساده را مستقیما از طریق بسط دو جمله ای یا کسرهای جزءبه جزء و بسط سری هندسی همانطور که در ادامه آمده است  به دست آوریم .کسرهای جزء به جزء را کسترش می دهیم

که در آن را در   تعیین می کنیم،

و همچنین   در       تعیین می شود ،

بسط دادن  در سری هندسی ، سری لوران (معادله ی ۶-۷۸)را نتیجه می دهد .

سری لوران با سری تیلور به دلیل ویژگی واضح وبدیهی توانهای منفی  تفاوت دارد.

به این دلیل سری لوران همواره درکمتر از   وشاید دورترین فاصله از r  واگرا خواهد بود.( شکل۶-۱۶).

مثال ۶-۵-۲    بسط لوران با سری

 را در سری لوران  حول مبدأ بسط می دهیم .

این تابع در صفحه ی مختلط تحلیلی است بجز در  و  .

بعلاوه ،  ،به طوری که    .ضرب کردن سری توانی

جمله ی ثابت  را از حاصلضرب جملات   به صورت زیر بدست می دهد:

ضریب   از حاصلضرب جملات     و   می آید

از قسمت آزمون یا نبود تکینه ها در صفحه ی مختلط متناهی برای  ،سری لوران برای  همگرا می شود .

تاریخ زندگی Laurent,Pierre-Alphonse. لوران ،ریاضیدان فرانسوی ،در سال 1813 متولد شد و در سال 1854در گذشت .او در تحلیل مختلط شرکت داشت ،وقضیه ی مشهور او در سال 1843 منتشر شد.

خلاصه

بسط تیلوراز تابعی تحلیلی در مورد نقطه ی منظم از فرمول انتگرال کوشی پیروی می کند . شعاع همگرایی سری تیلور در اطراف نقطه ی منظم با فاصله اش از نزدیکترین تکینه داده می شود .تابع تحلیلی را می توان در سری توانی با توانهای مثبت و منفی برای نقطه ی دلخواه ،که سری لوران نامیده می شود ،بسط داد،به طوریکه تابع تحلیلی در ناحیه ی حلقه ای (چنپره ای) اطراف نقطه ی تکینه همگرا شود  و سری تیلور آن اطراف نقطه منظم باشد . اگر بی نهایت توان منفی در سری لوران آن باشد،تابع یک تکینه اصلی دارد .اگر سری لوران به توانهای محدود منفی بشکنیم آن قطبی از مرتبه در بسط نقطه دارد . ادامه ی تحلیلی در  بعضی همسایگی نقطه منظم  تا دامنه ی طبیعی آن است ،به این معنی که سری تیلور یا سری لوران متوالی ،نمایش انتگرالی ،یا معادله ی تابعی است که مفهوم منحصر به فرد قضیه ی تابعهایی  تحلیلی که با توانهایشان مشخص می شوند .

۶-۶  نگاشت

در بخشهای قبل توابع تحلیلی را تعریف و با برخی از جنبه های عمده ی آنها  آشنا  شدیم . در اینجا ،به معرفی پاره ای از جنبه های هندسی تر توابع  متغیر مختلط می پردازیم ،که در تجسم بخشیدن به عملکردهای انتگرالی فصل ۷سودمند خواهند بود و به جای خود در حل معادله ی لاپلاس در دستگاههای دو بعدی بسیار با ازرش اند .

در هندسه ی تحلیلی معمولی می توانیم بگو ییم   و  سپس منحنی تغییراتy   را بر حسبx      ترسیم کنیم . مسئله در اینجا پیچیده تر است ،زیرا z   خود تابع دو متغیر x وy است .نمادگذاری  زیر را به کار می بریم

                    (6.79)

در این صورت نظیر به هر نقطه در صفحه ی z (با مقادیر خاصx  وy  ) می توان مقادیر خاصی برای                 u(x,y)وv(x,y) یافت ،که یک نقطه در صفحه یω   را بدست می دهد .با توجه به آنکه نقاط واقع در صفحه ی  z     به نقاطی در صفحه یω  تبدیل شده یا نگاشته می شوند ،خطها یا سطوح در صفحه ی  zروی خطها و سطوح در صفحه یω  نگاشته خواهد شد . اکنون هدف ما آن است که ببینیم برای تعدادی از توابع ساده ،خطها و سطوح چگونه از صفحه ی   z به  صفحه ی   ω  نگاشته می شوند .

شکل ۶-۱۷:انتقال

انتقال

ω=z+z0                            (6.80)

تابعω  برابر است با متغیرz   به اضافه ی یک ثابت ،  0z0  = x0 + iy   .با استفاده از معادله های

 (۶- ۲)و(۶-۸٠)، داریم

u=x+x0                     v=y+y0                (6.81)                        

که مطابق شکل( ۶-۱۷)یک انتقال ساده ی محورهای مختصات را نشان می دهد.

شکل ۶-۱۸:چرخش

چرخش

                     (6.82)

در اینجا بهتر است نمایش قطبی را به کار بریم ،با استفاده از

                          (6.83)

داریم

                (6.84)

یا

                           (6.85)

دو رویداد پیش آمده است .اول آنکه ،مدولr    تعدیل یافته ،یعنی با ضریب 0r     ،منبسط یا منقبض شده است . دوم آنکه ،شناسه (آرگومان)    به اندازه ی ثابت جمعی    افزایش یافته است شکل(۶

-۱۸) این عمل چرخش متغیر مختلط به اندازه ی زاویه ی     را نشان می دهد . در حالت خاص  ،یک چرخش خالص به اندازه ی رادیان داریم.

شکل ۶-۱۹:انعکاس

انعکاس

                               (6.86)

در اینجا نیز با استفاده از صورت قطبی داریم

                  (6.87)

عبارت نشان می دهد که

                                             (6.88)

بخش شعاعی معادله ی (۶-۸۷ )انعکاس را به روشنی نشان می دهد.ناحیه ی درونی دایره واحد به ناحیه ی برونی نگاشته می شود و بر عکس شکل( ۶-۱۹). بعلاوه ،بخش زاویه ای معادله ی(۶-۸۷ ) نشان می دهد که علامت زاویه ی قطبی برعکس شده است .معادله ی(۶-۸۶ )همچنین انعکاس محورy  را نیز نمایش می دهد (درست مانند معادله ی همیوغ مختلط).

برای آنکه ببینیم خطهای صفحه یz  چگونه به  صفحه یω  تبدیل می شوند ،به صورت دکارتی آن بر می گردیم :

                      (6.89)

با ضرب کردن صورت و مخرج کسر سمت راست در  ،این کسر را گویا می کنیم و اجزای حقیقی و موهومی را با هم برابر قرار می دهیم ،می رسیم به   

       

                           (6.90)

دایره ای به مرکز مبدا مختصات در صفحه یz  عبارت است از

                    (6.91)

و به واسطه ی معادله ی ۶-۹٠به معادله ی زیر تبدیل می شود

                         (6.92)

با ساده کردن معادله ی ۶-۹۲،بدست می آوریم

                       (6.93)

این معادله ،دایره ای به مرکز مبدا مختصات در صفحه ی ω   را توصیف می کند .

خط افقی    به منحنی زیر تبدیل می شود

                            (6.94)

یا                                                    (6.95)

که معادله ی دایره ای به شعاع  و به مرکز در صفحه ی ω  است( شکل ۶-۲٠).با چرخاندن محورهای x   وy  ،سه حالت ممکن دیگر ،  و  ،را می توانیم اختیار کنیم . به طور کلی ،هر خط مستقیم یا دایره ی واقع در صفحه ی z   به یک خط مستقیم  یا دایره در صفحه ی ω تبدیل خواهد شد(با مسئله ی ۶-۶-۱مقایسه کنید ).

شکل ۶-۲۰:انعکاس خط↔ دایره

نقطه های شاخه و توابع چند مقدار

در هر سه تبدیلی که بررسی کردیم ،یک تناظر یک به یک بین نقاط صفحه یzو نقاط صفحه یω     برقرار است . اینک برای نمایش تبدیلهای گوناگونی که انجام می شود و مشکلاتی  که ممکن است پیش آید ،نخست با یک تناظر دو به یک و سپس با یک تناظر چند به یک آشنا می شویم . سرانجام وارون این تبدیلها را در نظر خواهیم گرفت .

نخست تبدیل زیر را در نظر بگیرید

                             (6.96)

که منجر می شود

                              (6.97)

به وضوح می بینیم که این تبدیل  غیر خطی است ،زیرا  مدول مجذور شده است ،ولی جنبه ی با اهمیت معادله ی( ۶-۹۶ )این است که زاویه ی فاز  یا شناسه دو برابر شده است . یعنی،

·           نیم صفحه ی بالاییω     →         اولین ربع صفحه ی z

·             تمام صفحه ی ω    →          نیم صفحه ی بالاییz

نیم صفحه ی پایینیz  روی تمام صفحه یω  که قبلا پوشانده شده است ،نگاشته می شود ،و به این ترتیب  برای بار دوم صفحه یω را می پوشاند. این همان تناظر دو به یک است ،دو نقطه ی متمایز در صفحه یz  ،یعنی      و   ،هر دو نظیر یک نقطه ی  هستند .

در نمایش دکارتی داریم

                            (6.98)

که نتیجه می دهد

                                    (6.99)

در نتیجه خطهای  ،   در صفحه یω  با    و ،یعنی هذلولیهای راستگوش (و متعامد)در صفحه یz  ،متناظرند شکل( ۶-۲۱)متناظر با هر نقطه روی هذلولی   در نیم صفحه ی سمت راست  یک نقطه روی خط      وجود دارد و بر عکس . گر چه ،همانگونه که قبلا توضیح داده شد ،هر نقطه روی خط       با نقطه ای روی هذلولی  در نیم صفحه ی چپ         نیز متناظراست.

شکل ۶-۲۱:نگاشت _مختصات هذلولی

 در بخش( ۶-۷)خواهیم دید در صورتی که این تبدیل تحلیلی باشد ،هر گاه خطها در صفحه یω     متعامد باشند ،خطهای متناظر در صفحه یz      نیز متعامد خواهند بود .              و         عمود بر هم اند از این رو هذلولیهای متناظر در صفحه یz    متعامدند.عملا  یک دستگاه متعامد جدید از خطهای هذلولی ساخته ایم . این دستگاه در مسئله ی( ۲-۳-۳ )بررسی شد . باید گفت که اگر خطهای  هذلولی ،خطوط نیروی الکتریکی یا مغناطیسی باشند ،یک عدسی چهار قطبی داریم که در کانونی کردن باریکه های ذرات با انرﮊی بالا به کار می آید .

وارون تبدیل چهارم معادله ی (۶-۹۶)عبارت است از

                    (6.100)

از رابطه ی

                         (6.101)

و

                                 (6.102)

نتیجه می گیریم که متناظر با هر نقطه در صفحه ی   z   (به استثنای نقطه ی z=0  )دو نقطه در صفحه ی   ω داریم (با شناسه های    و ).یا به بیان دیگر ،θ و،متناظرند با  و       ، یعنی دو نقطه ی متمایز درصفحه یω    .این تناظر به متغیر مختلط معادله ی ساده ی متغیر حقیقی  شبیه است ،که در آن هر مقدارx متناظر با دو مقدار به اضافه و منها ،برای  y   وجود دارد.

با جایگذاری  برای    در معادله ی( ۶-۱٠٠)می فهمیم که تابع رفتاری شبیه اطراف  نقطه ای در بی نهایت را نشان می دهد.

شکل ۶-۲۲:خط برش

نکته ی مهم در اینجا آن است که اگر قرارداد کنیم  θ محدود به گستره ای نظیر                 باشد ،می توانیم تابع ω در معادله ی( ۶-۱٠٠)را از یک تابع دو مقداری به یک تابع تک مقداری تبدیل کنیم .برای این کار باید قرارداد کنیم که هرگز خط0= θ در صفحه یz را قطع نکنیم شکل( ۶-۲۲). چنین خط جدا کننده ای را خط برش می نامند.

خط برشی که دو شاخه را به هم متصل میکند نقطه های تکینی در صفر و بینهایت در جایی که تابع به طور واضح تحلیلی نیست ،دارد .هر خط دیگری از0=z تا بینهایت امتداد داشته باشد ،منظور ما را برآورده می کند . هدف از خط برش آن است که شناسه یz    را محدود می کند .نقاطz  و در صفحه ی zبر هم منطبق اند ،اما نقاط متفاوت  و  در صفحه یω  را به دست می دهند .از این رو ،تابع   در غیاب خط برش مبهم است .متناوباً،با توجه به اینکه تابع  دو مقداری است ،می توانیم  دو لایه از صفحه ی مختلطz  را در طول خط برش به یکدیگر نزدیک کنیم به طوریکه   بیشتر از π2  در طول خط برش باشد و در روی لایه ی دوم از مقدار π4 کم می شود برای شروع لایه ی اول .این  رسم سطح ریمان تابع    نامیده می شود . با نقطه های شاخه و خطهای برش بارها در فصل۷  مواجه می شویم .

تبدیل

                                       (6.103)

منجر می شود به

                           (6.104)

یا

                           (6.105)

اگر  در گستره ی   (یا   )قرار گیرد ،آنگاه    هم در همین گستره واقع خواهد شد . ولی این گستره ی به معنای تمام صفحه یω  است . به عبارت دیگر ،نوار افقی به عرضπ2 در صفحه یz    روی تمامی صفحه ی  ω    نگاشته می شود .بعلاوه ،همه ی نقطه های   کهn  هر عدد صحیحی است (به اعتبار معادله ی ۶-۱٠۴)روی یک نقطه در صفحه یω  نگاشته می شوند . یک  تناظر چند (بینهایت) به یک داریم .

سر انجام به عنوان وارون تبدیل پنجم (معادله ی ۶-۱٠۳) داریم

                          (6.106)

با بسط این تابع بدست می آوریم

               (6.107)

به ازای هر نقطه معلوم    در صفحه یz  ،شناسه ی θ   می تواند مقادیر متفاوتی داشته باشد که اختلاف آنها با یکدیگر مضرب صحیحی از π2  است. یعنی

                         (6.108)

و شبیه تبدیل نمایی ،یک تناظر چند (بینهایت) به یک داریم.

معادله ی( ۶-۱٠۶)نمایش فیزیکی جالبی دارد .اگر در صفحه یz  دایره ی واحد ،  r=1    را دور بزنیم و معادله ی (۶-۱٠۷)را به کار ببریم داریم

ولی و  به طور یکنواختی افزایش می یابد،پس  با افزایش  زیاد می شود و از   π2    می گذرد .

خط برش نقطه ی شاخه در مبدأ رابه بی نهایت متصل می کند .وقتیکه  افزایش می یابد و از  π2  می گذرد ،لایه ی جدیدی از صفحه یz  مختلط را در طول خط برش متصل می کنیم .

همین طور که دایره ی واحد را در صفحه ی z بارها و بارها دور می زنیم، مشابه حرکت رو به پیش یک پیچ به هنگام پیچاندن و یا مشابه بالا رفتن شخصی است که از پلکانی مارپیچ بالا می رود شکل۶-۲۳که سطح ریمان     است .

در اینجا نیز مانند مثال پیش ،با محدود کردن    به گستره ای نظیر         توسط خط برش   0  =   (محور حقیقی مثبت )تناظر را یکتا[ (ومعادله ی ۶-۱٠۶)را غیر مبهم]می سازیم . این عمل معادل آن است که فقط و فقط یک دور کامل از پلکان مارپیچی رادر نظر بگیریم . به همین دلیل ماهیت چند مقداری بودن ln z      است که انتگرال پربندی زیر حول مبدا مختصات صفر نمی شود

این خاصیت در مسئله ی( ۶-۴-۱)مطرح می شود و شالوده ی کل حساب مانده ها به شمار می آید (فصل ۷).

شکل ۶-۲۳:سطح ریمانی برای  ln z ، یک تابع چند مقدار

خلاصه

مفهوم نگاشت دامنه ی وسیعی دارد و در ریاضیات  بسیار مفید است . نگاشت از صفحه ی مختلطz   به صفحه ی مختلطω   تعمیم ساده ی یک تابع است . هر تابع ،نگا شتی است از x  (در یک مجموعه)به y در یک مجموعه ی دیگر. در بخش( ۱-۱۴) با صورت پیچیده تری از نگاشت سرو کار داریم در آنجا تابع دلتای دیراک  تابع را بر مقدارش در نقطه یa  می نگارد .در فصل ۱۵با استفاده از تبدیلهای انتگرالی ،تابع     در فضایx  را بر روی تابع دیگر  (وابسته به) تابع    در فضای  t  می نگاریم.

۶-۷            نگاشت همدیس

در بخش (۶-۶ )هذلولی ها روی خطهای راست و خطهای راست روی دایره ها نگاشته شدند.ولی در تمام این تبدیلها یک جنبه ثابت باقی ماند . این ثابت بودن ناشی از این واقعیت بود که همه ی تبدیلهای بخش( ۶-۶)تحلیلی بودند.

شکل ۶-۲۵:نگاشت همدیس _تغیر نکردن زاویه ها

مادام که تابع      تحلیلی باشد ،داریم

                      (6.109)

بادر نظر گرفتن صورت قطبی این معادله ،می توانیم مدولها را با هم و شناسه ها را با یکدیگر برابر قرار دهیم . برای شناسه ها (با فرض      )داریم

                            (6.110)

که در آن  ،شناسه ی مشتق ،که چه بسا تابع     باشد ،به ازای یکz    معین ثابت و مستقل از جهتی است که در امتداد آن به نقطه یz  نزدیک شده ایم . برای آنکه اهمیت این رابطه روشن شود ،دو منحنی یکی    در صفحه ی  z   و دیگری    متناظر با آن در صفحه ی ω  رادر نظر بگیرید شکل۶-۲۵نمو  که با محور حقیقی x  زاویه یθ    می سازد و نمو     متناظر با آن که با محور حقیقیu   زاویه ی  می سازد ،در شکل نشان داده شده است . از معادله ی (۶-۱۱٠)داریم

                       (6.111)

یا ،مادام کهω  تبدیلی تحلیلی باشد و مشتق آن هم صفر نباشد . هر خط در صفحه یz   در صفحه ی ω به اندازه ی زاویه ی     خواهد چرخید.

این نتیجه گیری برای هر خطی که از    بگذرد صادق است[14] . در نتیجه برای دو خط نیز برقرار است . زاویه ی بین این دو خط عبارت است از

            (6.112)              

این عبارت نشان می دهد که زاویه ی بین دو خط تحت تبدیل تحلیلی بدون تغییر باقی می ماند . چنین تبدیلهایی را که در آنها زاویه تغییر نمی کند ،همدیس می نامند . زاویه ی چرخش معمولا تابعz    است .علاوه براین ،  معمولا تابعی از z  خواهد بود .

خلاصه

تبدیلها ی همدیس از زاویه ی تاریخی برای دانشمندان و مهندسان در حل معادله ی لاپلاس در مسائل الکتروستاتیک ،دینامیک شاره ها ،شارش گرما و مانند آنها اهمیت فراوانی داشته است . ولی رهیا فت تبدیلهای همدیس با همه ی ظرافتی که دارد ،به مسائلی محدود می شود که قابل تحول به دو بعدند.این روش ،در صورتی که تقارن بالایی وجود داشته باشد، اغلب بسیار زیباست ولی اگر تقارن از بین برود یا وجود نداشته باشد ،غالبا کارآیی چندانی ندارد . به جهت همین محدودیتها و نیز به دلیل آنکه کامپیوترهای بسیار سریع راه حلهای دیگری (روشهای تکراری برای حل معادله ی دیفرانسیل جزئی )ارائه می کنند ،از آوردن شرح جزئیات و کاربردهای نگاشت همدیس چشم می پوشیم.

---

[1] این دقیق است زیرا کامپیوتر حساب مختلط را انجام می دهد.

[2] همیوغ مختلط را گاهی با نیز نشان می دهند

[3]  به بیان دقیق ،فصل ۵  به متغیر های حقیقی محدود می شود . ولی ،می توانیم   را به ازای   مختلط به صورت  تعریف کنیم .تعمیمهای بسط سری توانی برای تابعهای مختلط در بخش ۵-۶ مطرح می شود (بسط لوران ).

[4] انتخاب استانداردی برای فاز وجود ندارد زیرا فاز مناسب هر مسئله به همان مسئله بستگی دارد .

[5] گاهی هم واژه ی تمامریخت یا منظم به کار برده اند .

[6]  ناحیه یا حوزه ی همبند ساده عبارت است از ناحیه ای که در آن هر پر بند بسته فقط نقاط واقع در داخل آن ناحیه را دور می زند.اگر ناحیه ای همبند ساده نباشد ،به آن ناحیه ی همبند چند گانه می گویند ،صفحه ی   که دایره ی به شعاع واحد از درون آن حذف شده باشد ،نمونه ای از ناحیه ی همبند چند گانه به شمار می آید.

[7]  یار آوری می کنیم که در بخش ۱۲-۱ تابعی مانند،به اجبار شناخته می شود که آن را محافظه کار (قدیمی)می نا میم .

[8]  در بخش ۱۲- ۱ در اثبات قضیه ی استوکس ،    و    هر دو می توانند تابع دلخواهی (با مشتقهای پاره ای پیوسته )باشند .

[9]    این عبارت نقطه ی شروع تعریف مشتقهای از مرتبه ی کسری است . نگاه کنید کتاب :

Erdelyi A.(Ed.) (1954).et  al, Tables  of Integral Transforms,Vol  2,New York McGraw-Hill.

برای موارد استفاده ی جدید در تحلیل ریاضی به مقاله ی زیرو منابعی که در آن معرفی شده ،مراجعه کنید

Osler, T.J.(1972).An integral analogue of Taylorُ s series and its use in computing Fourier transforms. Math. Comput. 26,449.

[10] در اینجا می توانیم قضیه ی مقدار میانگین در حساب دیفرانسیل و انتگرال را نقل کنیم

[11]   یکی از قویترین و زیباترین نتایج نظریه ی توابع متغیر مختلط به این قرار است که اگر دو تابع تحلیلی در ناحیه ای ،مانند ناحیه ی همپوشی  و   ،یا روی پاره خطی با هم برابر باشند ،تابع واحدی را تشکیل می دهند ،به این معنا که تا آنجا که خوش تعریف بمانند ،همه جا با هم برابرند .در موردی که ذکر شد سازگاری دو بسط(معادله های ۶۶-۶و۶-۶۷) در ناحیه ی مشترک بین   و  ،هم ارزی دو تابعی را که توسط این دو بسط نمایش داده می شوند ،اثبات می کند .در این صورت معادله ی ۶-۶۷ ادامه ی تحلیلی یا بسط تابع  به ناحیه ای را نشان می دهد که معادله  ی ۶-۶۶ آن را در بر نمی گیرد .همچنین می توانیم بگوییم که  خود ادامه ی تحلیلی هر یک از دو سری  ای  است که با (معادله های ۶۶-۶و۶-۶۷) بیان می شوند .

[12] می توانیم هر قدر که بخواهیم   را به   ،و را به نزدیک هختیار کرده و به این ترتیب مساحت محاط بین  و را بیشینه کنیم.

[13]   در،را با تعویض،و آنگاه جمع کنید

[14] اگر در  باشد ،شناسه یا فاز آن تعریف نشده است و تبدیل(تحلیلی) در آن زوایا ضرورتاً تغییر نخواهد کرد.